Théorème de convergence monotone

En mathématiques, le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo Levi) est un résultat de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Il permet de démontrer le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée.

Ce théorème indique que pour une suite croissante de fonctions mesurables positives on a toujours la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de la limite simple.

Le théorème autorise donc, pour une telle suite de fonctions, à intervertir les symboles $\int$ et $\lim$. De façon équivalente, il permet, pour une série de fonctions mesurables positives, de permuter les symboles $\int$ et $\sum$.

Énoncé

Comme corollaire important, si les intégrales $\int f_n\mathrm{d}\mu$ sont toutes majorées par un même réel, alors la fonction $f=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n$ est intégrable, donc finie presque partout, et l'on peut exprimer le résultat en disant que la suite $(f_n)$ converge vers $f$ pour la [[Espace Lp|norme LModèle:1]].

On peut aussi exprimer le théorème en utilisant, au lieu d'une suite croissante, une série de fonctions mesurables $u_n$ à valeurs positives ou nulles. Le théorème dit que l'on a toujours

$\int (\sum u_n)\mathrm{d}\mu =\sum (\int u_n\mathrm{d}\mu ).$

Le corollaire se traduit alors par : si la série des intégrales converge, alors la série des $u_n$ est intégrable donc finie presque partout, c'est-à-dire que pour presque tout $x$, la série $\sum u_n(x)$ converge.

Histoire

Au début du Modèle:S-, une nouvelle théorie de l'intégration apparaît sous la forme d'un article de Lebesgue, « Sur une généralisation de l'intégrale définie », publié dans les Comptes Rendus du Modèle:Date-. Cet article fascine rapidement la communauté mathématique. En 1906, le mathématicien italien Beppo Levi (1875-1961) démontre le théorème de la convergence monotone qui porte en conséquence parfois le nom de théorème de Beppo Levi.

Remarques

Séries doubles

Dans le cas particulier où l'espace mesuré est $\mathbb{N}$ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à termes positifs.

Intérêt du théorème

L'aspect remarquable de la théorie de Lebesgue est qu'un critère de convergence faible suffit néanmoins sous certaines hypothèses pour assurer une bonne convergence, la convergence dans $L^1(E)$. Ce résultat est donc indispensable pour l'étude d'espaces de fonctions comme l'espace des séries entières, des fonctions harmoniques ou des espaces de Hardy ou de Sobolev.

Modèle:Ancre Le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée peuvent être établis en utilisant le théorème de convergence monotone. Ce théorème est aussi utilisé pour construire les mesures à densité et pour démontrer le théorème de Fubini.

Non-validité dans le cadre de la théorie de Riemann

Considérons l'exemple suivant : à partir d'une énumération de tous les rationnels compris entre Modèle:Math et Modèle:Math, on définit la fonction $f_n$ (pour tout entier naturel $n$) comme l'indicatrice de l'ensemble des $n$ premiers termes de cette suite de rationnels. La suite croissante des fonctions $f_n$ (positives et d'intégrale de Riemann nulle) converge alors simplement vers l'indicatrice de $\mathbb{Q}$, qui n'est pas Riemann-intégrable.

Nécessité de l'hypothèse de positivité

L'exemple de la suite de fonctions $(f_n{)}_n$ définies sur $ℝ$ par $f_n=-1_{[n,+\mathrm{\infty }[}$ (pour tout entier naturel $n$) montre que la condition de positivité des $f_n$ est nécessaire.

Liens externes

• Théorèmes de Lebesgue, cours de Daniel Choï, université de Caen
• Modèle:Lien brisésur les-mathematiques.net