Espace fonctionnel

En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications d'une certaine forme d'un ensemble $X$ vers un ensemble $Y.$

Il est appelé « espace » car, selon les cas, il peut être un espace topologique, un espace vectoriel, ou les deux.

Notations

L'ensemble des applications de $X$ dans $Y$ est noté $Y^X$ ou $ℱ(X,Y)$. Pour la première écriture, on veillera à ne pas se méprendre dans l'ordre des ensembles. Un bon moyen de le retenir est en l'associant avec ce résultat classique de dénombrement : il y a, si $X$ et $Y$ sont finis, $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(Y{)}^{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(X)}$ applications de $X$ dans $Y$.

Domaines d'applications

Les espaces fonctionnels apparaissent dans différents domaines des mathématiques :

• en théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble $E$ peut être identifié à $\{0,1{\}}^E$. En effet, se donner une partie $A$ de $E$, cela revient à « faire l'appel », à construire une fonction qui à $x\in E$ associe $1$ si $x\in A$ et $0$ sinon (mathématiquement on construit la fonction caractéristique de $A$ dans $E$) ;
• en algèbre linéaire, l'ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel $E$ vers un autre $F$ sur un même corps commutatif est lui-même un espace vectoriel ;
• en analyse fonctionnelle, on a la même construction avec les applications linéaires continues, sur des espaces vectoriels topologiques, typiquement : des espaces de fonctions à valeurs réelles ou complexes, munis d'une certaine topologie ; les exemples les plus connus sont les espaces hilbertiens et les espaces de Banach ;
• en analyse fonctionnelle, l'ensemble des applications de l'ensemble des entiers naturels dans un ensemble quelconque $X$ est appelé espace de suites. Il est formé de l'ensemble des suites d'éléments de $X$ ;
• en topologie, on peut essayer de construire une topologie sur l'espace des fonctions continues d'un espace topologique X dans un autre Y, dont l'utilité dépend de la nature des espaces. Une topologie couramment employée est la topologie compacte-ouverte. Un autre topologie possible est la topologie produit sur l'espace des fonctions (pas nécessairement continues) $Y^X$. Dans ce contexte, cette topologie est aussi désignée sous le nom de topologie de la convergence simple ;
• en topologie algébrique, l'étude de la théorie de l'homotopie repose essentiellement sur l'étude des invariants discrets des espaces de fonctions ;
• en théorie des processus stochastiques, le problème technique de base est comment construire une mesure de probabilité sur un espace de fonctions constitué de chemins de processus (fonctions du temps) ;
• en théorie des catégories, un espace fonctionnel est appelé un objet exponentiel. Il apparaît d'une part comme le bifoncteur Hom ; mais en tant que foncteur (simple), du type [X, -], il apparaît comme foncteur adjoint à un foncteur de type (-×X) sur des objets ;
• en lambda-calcul et en programmation fonctionnelle, des types d'espaces de fonctions sont employés pour exprimer l'idée de fonction d'ordre supérieur ;
• en théorie des domaines, l'idée fondamentale est de trouver des constructions à partir d'ordres partiels qui peuvent modéliser le lambda-calcul, en créant une catégorie cartésienne fermée.

Analyse fonctionnelle

Espaces généraux

• un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique sur R dont la topologie est définie par une famille de semi-normes (ou de façon équivalente possédant des bases de voisinages convexes) ;
• un espace de Fréchet est un espace localement convexe séparé dont la topologie est définie par une famille dénombrable de semi-normes (ou de façon équivalente : métrisable) et complet (pour n'importe laquelle des distances qui définissent sa topologie) ;
• un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet ;
• un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est associée à un produit scalaire.

Espaces particuliers

• espace de Schwartz des fonctions de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ à décroissance rapide et son dual topologique, l'espace des distributions tempérées ;
• espaces Lp ;
• espaces de Lorentz, espaces d'interpolation des espaces $L^p$ ;
• $𝒦(ℝ)$ espace des fonctions continues à support compact muni de la norme de la convergence uniforme ;
• $ℬ(ℝ)$ espace des fonctions continues bornées ;
• ${𝒞}_0(ℝ)$ espace des fonctions continues qui tendent vers zéro à l'infini ;
• ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$ espace des fonctions classe $C^{\mathrm{\infty }}$ ;
• ${𝒞}_c^{\mathrm{\infty }}$ espace des fonctions C∞ à support compact, muni des normes uniformes de la fonction et de ses dérivées ;
• $𝒟(ℝ)$ espace des fonctions $C^{\mathrm{\infty }}$ à support compact, muni cette fois d'une certaine topologie limite inductive ;
• ${𝒪}_U$ espace des fonctions holomorphes ;
• $W^{k,p}$ espaces de Sobolev ;
• espaces de Besov ;
• applications affines par morceaux ;
• espace des fonctions continues muni de la topologie compacte-ouverte ;
• espace des fonctions muni de la topologie de la convergence simple ;
• espaces de Hardy ;
• espaces de Hölder.