Espace Lp

Modèle:Titre mis en forme Modèle:Ébauche En mathématiques, un espace Modèle:Math est un espace vectoriel de classes des fonctions dont la [[Fonction puissance|puissance d'exposant Modèle:Math]] est intégrable au sens de Lebesgue, où Modèle:Math est un nombre réel strictement positif. Le passage à la limite de l'exposant aboutit à la construction des [[espace L∞|espaces Modèle:Math]] de fonctions bornées. Les espaces Modèle:Math sont appelés espaces de Lebesgue.

Identifiant les fonctions qui ne diffèrent que sur un ensemble négligeable, chaque espace Modèle:Math est un espace de Banach lorsque l'exposant est supérieur ou égal à 1. Lorsque Modèle:Math, l'intégrale définit une quasi-norme qui en fait un espace complet. Il existe en outre une dualité entre les espaces d'exposants Modèle:Math et Modèle:Math conjugués, c'est-à-dire tels que Modèle:Math.

Les espaces Modèle:Math généralisent les [[espace L2|espaces Modèle:Math]] des fonctions de carré intégrable, mais aussi les [[espace de suites lp|espaces Modèle:Math]] de suites de puissance Modèle:Math-ième sommable.

Diverses constructions étendent encore cette définition à l'aide de distributions ou en se contentant d'une intégrabilité locale.

Tous ces espaces constituent un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle en permettant la résolution d'équations par approximation avec des solutions non nécessairement dérivables ni même continues.

Définition

Exposant fini

La [[norme (mathématiques)#En dimension finie|norme Modèle:Math]] sur l'espace vectoriel de dimension finie Modèle:Math s'étend aux fonctions continues sur un segment Modèle:Math par Modèle:Centrer et plus généralement aux fonctions mesurables sur un espace mesuré Modèle:Math et à valeurs réelles ou complexes et de puissance Modèle:Math intégrable par : Modèle:Centrer Sur un domaine Modèle:Math d'un espace euclidien, la mesure est en général celle de Lebesgue.

Or une fonction positive est d'intégrale nulle si et seulement si elle s'annule presque partout, c'est-à-dire sur le complémentaire d'un ensemble négligeable. L'espace Modèle:Math est alors défini comme quotient de l'espace des fonctions mesurables Modèle:Math intégrables, souvent noté : Modèle:Math, par le sous-espace vectoriel des fonctions presque partout nulles. Ce quotient identifie donc les fonctions qui sont dans la même classe pour la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».

Dans le cadre de la théorie de Riemann, l'espace Modèle:Math peut aussi se définir par un procédé de complétion.

Exposant infini

L'espace Modèle:Math est défini comme l'espace vectoriel des fonctions μ-essentiellement bornées (c'est-à-dire les fonctions bornées sur le complémentaire d'un ensemble négligeable), muni de la semi-norme « borne supérieure essentielle ».

Ensuite, l'espace vectoriel normé Modèle:Math est, comme précédemment, le quotient de Modèle:Math par le sous-espace des fonctions nulles presque partout.

Exemples

Si X est l'ensemble Modèle:Math des entiers naturels, muni de la tribu discrète, et que μ est la mesure de comptage, l'espace Modèle:Math n'est autre que l'[[Espace de suites lp|espace ℓModèle:Exp(N)]] des suites réelles dont la puissance d'exposant Modèle:Math est sommable.

Avec Modèle:Math muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue :

• la fonction x ↦ 1/x restreinte à Modèle:Math est dans [[Espace L2|Modèle:Math]], mais pas dans [[Espace L1|Modèle:Math]] ;
• la fonction indicatrice de Modèle:Math, définie sur Modèle:Math, qui vaut 1 en chaque nombre rationnel et 0 partout ailleurs, est dans Modèle:Math et coïncide, dans cet espace, avec la fonction constante de valeur nulle, du fait que l'ensemble des rationnels est négligeable.

Propriétés

Norme et complétude

L'expression entre doubles barres donnée ci-dessus est bien positive et ne s'annule que pour la classe de la fonction nulle dans Modèle:Math. En outre, elle est positivement homogène, c'est-à-dire que pour tout scalaire Modèle:Math, Modèle:Centrer Cependant, elle ne satisfait l'inégalité triangulaire que pour Modèle:Math supérieur ou égal à 1. Les espaces Modèle:Math pour Modèle:Math sont des espaces de Banach, c'est-à-dire complets pour la norme ainsi définie : c'est le théorème de Riesz-Fischer, qui démontre au passage que toute suite de Cauchy dans Modèle:Math possède une sous-suite qui converge presque partout.

Pour Modèle:Math, ║ ║ est seulement une quasi-norme et Modèle:Math est seulement un F-espace, c'est-à-dire un espace vectoriel topologique métrisable complet, pour une distance invariante par translations : dModèle:Ind(f, g) = ║f – g║Modèle:IndModèle:Exp, mais il n'est pas localement convexe donc pas normable.

Inclusions

• Si la mesure est finie alors, d'après l'inégalité de Hölder ou celle de Jensen, la famille des espaces Modèle:Math est décroissante, avec des injections continues :Modèle:CentrerIl existe une réciproque forte pour les mesures σ-finies.
• Si les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même réel strictement positif alors, la famille des Modèle:Math est croissante, avec des injections continues :Modèle:CentrerOn a le même type de réciproque que ci-dessus : s'il existe Modèle:Math et Modèle:Math, avec Modèle:Math, tels que Modèle:Math, alors les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même Modèle:Math.
• Dans le cas où l'espace Modèle:Math est un ensemble fini muni de la mesure de comptage, les deux conditions ci-dessus sont satisfaites et tous les espaces Modèle:Math sont identifiés à un même espace vectoriel normé de dimension finie.
• À l'inverse, pour la mesure de Lebesgue, qui ne vérifie aucune des deux conditions ci-dessus, il existe des fonctions n'appartenant qu'à un seul Modèle:Math.
• Dans tous les cas, Modèle:Centreret pour tout Modèle:Math, sur l'intervalle Modèle:Math, le logarithme de la fonction Modèle:Math est une fonction convexe de Modèle:Math.
• L'inégalité de Tchebychev permet de prouver que pour tout Modèle:Math et tout Modèle:Math, on a :Modèle:Centrer

Dualité

Modèle:Article détaillé Pour Modèle:Math et pour toute mesure, Modèle:Math est réflexif et son dual topologique s'identifie à l'espace Modèle:Math, où Modèle:Math est défini de façon que Modèle:Math.

Si la mesure est σ-finie, le dual de Modèle:Math est Modèle:Math et [[Mesure finie#Espace des mesures finies|le dual de Modèle:Math contient strictement Modèle:Math]] (sauf cas triviaux).

[[Dual topologique#Topologie forte sur le dual d'un espace normé|Modèle:Math n'est le dual d'aucun espace, tandis que Modèle:Math est le dual de nombreux espaces]], dont celui des suites de limite nulle.

Modèle:Démonstration/début L'inégalité de Hölder et son cas extrémal fournissent immédiatement un plongement isométrique J de Modèle:Math dans Modèle:Math. Il reste à montrer que toute forme linéaire φ sur Modèle:Math de norme 1 est de la forme J(g) pour un certain g de Modèle:Math.

• Si Modèle:Math, on sait que Modèle:Math est un espace uniformément convexe donc il existe dans Modèle:Math un vecteur unitaire f tel que φ(f) = 1. Pour ce f, soit g l'élément de Modèle:Math calculé dans le cas extrémal de l'inégalité de Hölder ; par construction, son image ψ par J vérifie : ψ(f) = 1 = ║ψ║. Or, toujours par convexité uniforme, Modèle:Math est strictement convexe donc lisse donc il existe une unique forme linéaire sur Modèle:Math vérifiant ces conditions. On conclut que la forme linéaire φ de départ s'écrit : φ = ψ = J(g).
• Si Modèle:Math = 1 :
  • Traitons d'abord le cas où la mesure μ sur l'espace mesuré (X, A) est finie. En posant dans ce cas, pour tout E ∈ A : ν(E) = φ(1Modèle:Ind), on obtient une mesure signée ν vérifiant, pour tout E ∈ A : |ν(E)| ≤ μ(E). Le « petit » théorème de Radon-Nikodym (pour μ finie) fournit alors une fonction g ∈ Modèle:Math(μ) telle que ν = gμ donc telle que (par limite uniforme de fonctions étagées) :Modèle:CentrerDe plus, d'après une propriété générale de l'intégrale de Lebesgue, |g| ≤ 1 μ-presque partout carModèle:CentrerLa fonction g ∈ Modèle:Math(μ) appartient donc même à Modèle:Math(μ) et la formule précédente s'étend par densité :Modèle:CentrerDans le cas où μ est finie, on a donc bien mis φ sous la forme J(g).
  • Dans le cas général où μ est seulement σ-finie, on partitionne X en une suite de XModèle:Ind de mesures finies et l'on construit de même sur chaque XModèle:Ind une fonction gModèle:Ind, nulle hors de XModèle:Ind. Leur somme g vérifie ainsi : g ∈ Modèle:Math(μ) et φ = J(g).

Densité et séparabilité

Pour tout Modèle:Math, les fonctions étagées appartenant à Modèle:Math forment un sous-espace dense de Modèle:Math.

Pour Modèle:Math, on en déduit que :

• si la mesure est σ-finie et si la tribu est engendrée par un ensemble dénombrable de parties — en particulier si c'est la tribu borélienne d'un espace à base dénombrable — alors Modèle:Math est séparable ;
• si X est un espace séparé localement compact, muni de sa tribu borélienne et d'une mesure quasi-régulière, les fonctions continues à support compact forment un sous-espace dense de Modèle:Math ;
• si X est un ouvert de ℝModèle:Exp (muni de la tribu et de la mesure de Lebesgue), le sous-espace des fonctions infiniment dérivables et à support compact est encore dense dans Modèle:Math.

Voir aussi

Articles connexes

• [[Fonction localement intégrable|Espace Modèle:Math]]
• Espace L2
• Espace de Sobolev
• Modèle:Lien
• Espace de Birnbaum-Orlicz
• Mesure de Radon
• Produit de convolution
• Théorème de représentation de Riesz (Riesz-Markov)
• Théorème de Riesz-Thorin
• Transformée de Fourier

Bibliographie

• Modèle:Brezis
• Modèle:Faraut