Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

En théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, est une inégalité de concentration permettant de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une faible probabilité une valeur relativement lointaine de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres.

Ce théorème doit son nom aux mathématiciens Irénée-Jules Bienaymé, qui fut le premier à le formuler, et Pafnouti Tchebychev qui le démontra.

Énoncé

Formulation probabiliste

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $𝔼[X]$ et de variance ${\sigma }^2$ avec $\sigma$ l'écart type de $X$ (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Autrement dit, la probabilité que X s'éloigne de plus de $\alpha$ de son espérance est plus petite que $\frac{{\sigma }^2}{{\alpha }^2}$. La démonstration consiste à appliquer l'inégalité de Markov $\mathbb{P}(Z\ge a)\le \frac{𝔼(Z)}{a}$ à la variable $Z=(X-𝔼[X]{)}^2$ et au nombre réel $a={\alpha }^2$ strictement positif compte tenu du fait que $\{|X-𝔼[X]|\ge \alpha \}=\{(X-𝔼[X]{)}^2\ge {\alpha }^2\}$.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev peut également être déduite directement d'une simple comparaison des aires, en partant de la représentation d'une espérance comme différence de deux intégrales de Riemann impropres (dernière formule dans la définition générale de l'espérance pour des variables aléatoires réelles).

Formulation généralisée

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est en fait une propriété plus forte de théorie de la mesure. Soit $(X,ℱ,\mu )$ un espace mesuré, et $f:X\to ℝ$ une fonction mesurable. Soit encore $g$ une fonction borélienne, positive, et croissante. Alors, on a la majoration suivante :

Cette majoration se prouve facilement en remarquant que puisque $g$ est croissante, on a l'inégalité $g(f(x))\ge g(t)1_{\{f(x)\ge t\}}$, d'où :

$\mu (\{x\in X|f(x)\ge t\})=\underset{X}{\int }{1}_{\{f(x)\ge t\}}\mathrm{d}\mu (x)\le \underset{X}{\int }\frac{1}{g(t)}g(f(x))\mathrm{d}\mu (x).$

On remarque également que si $\mu$ est une mesure de probabilité, on retrouve la version probabiliste de l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev en prenant $f=|X-𝔼[X]|$ et $g(t)=t^2$. Mais on peut aussi obtenir d'autres inégalités intéressantes avec d'autres choix de $g$ sous de bonnes conditions. Par exemple, quand la variable aléatoire $X$ est bornée, avec $f=X$ et $g(t)=e^{\lambda t}$ on obtient l'inégalité de Tchébychev exponentielle : $\mathbb{P}(X\ge t)\le e^{-\lambda t+K(\lambda )}$ où $K$ est la fonction génératrice des cumulants de $X$.

Minimalité des bornes

Pour certaines variables, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev peut donner des bornes larges. Cependant, dans le cas général, celles-ci ne peuvent pas être améliorées. Les bornes sont minimales pour l'exemple suivant : pour tout k ≥ 1,

$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{2k^2},\mathbb{P}(X=0)=1-\frac{1}{k^2}.$

Pour cette loi, X a pour moyenne μ = 0 et comme variance σ² = Modèle:Sfrac, soit un écart type de σ = Modèle:Sfrac et alors

$\mathbb{P}(|X-\mu |\ge k\sigma )=\mathbb{P}(|X|\ge 1)=\frac{1}{k^2}.$

Plus généralement, le cas d'égalité dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'est atteinte que pour les lois qui sont des transformations affines de cet exemple.

Voir aussi

Articles connexes

• Inégalité de Gauss
• Inégalité de Jensen
• Inégalité de Hoeffding
• Inégalité de Markov
• Loi des grands nombres