Inégalité de Markov

En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une majoration de la probabilité qu'une variable aléatoire réelle à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andreï Markov.

Énoncé

Généralisation

Il existe une version plus générale de ce théorème. Soit Modèle:Formule une variable aléatoire de $L^p(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ où Modèle:Formule est l'ensemble des réalisations, $ℱ$ est la tribu des événements et $\mathbb{P}$ la mesure de probabilité. Alors, l'inégalité de Markov peut être énoncée de la façon suivante :Modèle:ThéorèmeLa démonstration tient entièrement au fait que pour tout Modèle:Formule strictement positif, ${\alpha }^p{\mathrm{𝟏}}_{\{|X|\ge \alpha \}}\le |X{|}^p$. Ici, Modèle:Formule désigne l'indicatrice de l'événement Modèle:Formule. Par croissance de l'espérance, on obtient :$$𝔼(|X{|}^p)\ge 𝔼\left({\alpha }^p{\mathrm{𝟏}}_{\{|X|\ge \alpha \}}\right)={\alpha }^p𝔼\left({\mathrm{𝟏}}_{\{|X|\ge \alpha \}}\right)={\alpha }^p\mathbb{P}\{|X|\ge \alpha \}$$En divisant de part et d'autre de l'inégalité par Modèle:Formule on trouve le résultat recherché.

On voit immédiatement que le résultat cité plus haut n'est rien d'autre qu'un cas particulier de cette inégalité.

De plus en prenant $X=Y-𝔼\left(Y\right)$ et Modèle:Formule on obtient exactement l'énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Corollaire

Elle possède un corollaire fréquemment utilisé : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration

Applications

• Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $Y=|X-𝔼(X)|,I=[0,+\mathrm{\infty }[$ et Modèle:Formule donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

• Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $Y=X-𝔼(X)$, ou bien $Y=𝔼(X)-X$, de $I=ℝ$, et de Modèle:Formule, Modèle:Formule , est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.

• L'inégalité de Markov est souvent appliquée conjointement au lemme de Borel-Cantelli, par exemple pour démontrer la loi forte des grands nombres.

Exemple

Les salaires étant positifs, la part de la population percevant un salaire supérieur à 5 fois le salaire moyen est au maximum d'un cinquième.

Voir aussi

• Inégalité d'Azuma
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
• Inégalité de Hoeffding