Intégrale impropre

Une intégrale impropre

En mathématiques, lModèle:'intégrale impropre (ou intégrale généralisée) désigne une extension de l'intégrale usuelle, définie par une forme de passage à la limite dans des intégrales. On note en général les intégrales impropres sans les distinguer des véritables intégrales ou intégrales définies, ainsi : $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$ est un exemple classique d'intégrale impropre convergente, mais qui n'est pas définie au sens des théories de l'intégration usuelles (que ce soit l'intégration des fonctions continues par morceaux, l'intégrale de Riemann ou celle de Lebesgue ; une exception notable est la théorie de l'intégration de Kurzweil-Henstock).

Dans la pratique, on est amené à effectuer une étude de convergence d'intégrale impropre :

• lorsqu'on intègre jusqu'à une borne infinie ;
• lorsqu'on intègre jusqu'à une borne en laquelle la fonction n'admet pas de limite finie ;
• lorsqu'on englobe un point de non-définition dans l'intervalle d'intégration.

Dans chaque cas, on évaluera l'intégrale définie comme une fonction d'une des deux bornes, et on prendra la limite de la fonction obtenue lorsque l'argument tend vers la valeur de la borne.

L'intégrale impropre partage un certain nombre de propriétés élémentaires avec l'intégrale définie. Elle ne permet pas d'écrire des résultats d'interversion limite-intégrale avec les théorèmes d'interversion de convergence uniforme. Par contre, il existe un théorème d'interversion limite-intégrale adapté aux intégrales impropres : c'est le théorème de convergence dominée.

Définition

Définition de la convergence d'une intégrale impropre

Soit $f:[a,b[\to ℝ$ (où Modèle:Math est réel mais Modèle:Math peut être infini) une fonction continue ou, plus généralement, localement intégrable, c'est-à-dire intégrable sur tout compact de Modèle:Math. Si la limite

$\underset{x\to b^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de Modèle:Math sur Modèle:Math.

De la même manière, soit $f:]a,b]\to ℝ$ une fonction localement intégrable. Si la limite

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\underset{x}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de Modèle:Math sur Modèle:Math.

Dans les deux cas, on peut noter cette limite

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$, et l'on précise éventuellement si l'intégrale est impropre pour la borne Modèle:Math ou pour la borne Modèle:Math.

Si la limite existe et est finie, on dit que $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ converge ; sinon, on dit qu'elle diverge.

Remarques

• On peut généraliser facilement la définition à des fonctions qui sont définies seulement sur Modèle:Math (et localement intégrables). On dit alors queModèle:Retraitconverge lorsque pour un $c\in ]a,b[$ arbitraire, les intégralesModèle:Retraitconvergent. D'après la relation de Chasles pour les intégrales, cette définition ne dépend pas du choix de Modèle:Math.
• Modèle:Refnec qui permet d'expliciter le caractère impropre de l'intégrale :Modèle:Retraitpeut s'écrireModèle:Retrait
• Si Modèle:Math est en fait intégrable sur le segment Modèle:Math, on obtient par ces définitions la même valeur que si l'on calculait l'intégrale définie de Modèle:Math.

Définition de l'intégrabilité d'une fonction

Soit Modèle:Math un intervalle réel et $f:I\to ℝ$ une fonction localement intégrable. On dit que Modèle:Math est intégrable sur Modèle:Math si

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|\mathrm{d}t$

converge. On dit alors que l'intégrale de Modèle:Math sur Modèle:Math converge absolument.

Toute intégrale absolument convergente est convergente (cf. § « Majoration » ci-dessous). La réciproque est fausse. Une intégrale qui converge non absolument est dite semi-convergente.

Techniques pour établir la convergence d'une intégrale impropre

Cas des fonctions positives

Si Modèle:Math (localement intégrable sur Modèle:Math) est positive, alors, d'après le théorème de convergence monotone, son intégrale (impropre en Modèle:Math) converge si et seulement s'il existe un réel Modèle:Math tel que

$\mathrm{\forall }x\in [a,b[\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t\le M,$

et l'intégrale de Modèle:Math est alors la borne supérieure de toutes ces intégrales.

Calcul explicite

On peut parfois montrer qu'une intégrale impropre converge, c'est-à-dire que la limite qui intervient dans la définition ci-dessus existe et est finie, en calculant explicitement cette limite après avoir effectué un calcul de primitive.

Exemple

L'intégrale $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t$ converge si et seulement si le réel Modèle:Math est strictement positif.

Critère de Cauchy

D'après le critère de Cauchy pour une fonction, une intégrale impropre en Modèle:Math

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

converge si et seulement si : $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }c\in [a,b[\mathrm{\forall }x,y\in [c,b[|\underset{x}{\overset{y}{\int }}f(t)\mathrm{d}t|\le \epsilon .$

Majoration

D'après le critère de Cauchy ci-dessus, pour qu'une intégrale impropre

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

converge, il suffit qu'il existe une fonction Modèle:Math dont l'intégrale

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)\mathrm{d}t$

converge.

Négligeabilité

Modèle:Article détaillé On considère deux intégrales impropres en Modèle:Math,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t\text{ et }\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)\mathrm{d}t.$

Si, quand Modèle:Math, $f(t)=O(g(t))$ (en particulier si $f(t)=o(g(t))$) et Modèle:Math est de signe constant, alors : si l'intégrale

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)\mathrm{d}t$

est convergente, l'intégrale

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

l'est aussi (d'après le § « Majoration »).

Remarque

La condition « de signe constant » est indispensable. Par exemple :

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$

converge, mais

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t$

diverge, bien qu'en Modèle:Math,

$\frac{|\sin t|}{t}=o\left(\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\right).$

Remarque

On peut nuancer la condition de signe constant, en expliquant que la fonction doit être de signe constant au voisinage de b.

Ce résultat s'explique facilement par la décomposition de l'intégrale en utilisant la relation de Chasles puis en étudiant l'intégrale impropre résultante.

Équivalence

Modèle:Article détaillé Avec les mêmes notations qu'au paragraphe précédent, si Modèle:Math et Modèle:Math sont équivalentes au point Modèle:Math et de signe constant, alors leurs intégrales sont de même nature puisque Modèle:Math et Modèle:Math.

Exemple

Puisque Modèle:Math est [[Développement limité#Quelques exemples|équivalent en 0Modèle:Exp]] à Modèle:Math,Modèle:Retraitconverge si et seulement si Modèle:Math.

Remarque

La condition « de signe constant » est, là encore, indispensable (de même que dans le critère analogue pour les séries). Par exemple,

$\frac{\sin t}{\sqrt{t}}+\frac{|\sin t|}{t}\text{ et }\frac{\sin t}{\sqrt{t}}$

sont équivalentes en Modèle:Math mais leurs intégrales ne sont pas de même nature, d'après la remarque du § précédent.

Règle d'Abel

Modèle:Article connexe Une conséquence du critère de Cauchy ci-dessus est le théorème suivant (pour Modèle:Math localement intégrable sur Modèle:Math) : Modèle:Énoncé

Exemple

Pour tout réel Modèle:Math, l'intégrale $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (\mathrm{i}t)}{t^{\lambda }}\mathrm{d}t$ converge.

Autres propriétés

Intégration par parties

L'intégration par parties est une technique, parmi d'autres, permettant de calculer une intégrale définie. Pour les intégrales impropres, cette technique peut être également utilisée. Mais il faut faire attention à la définition des « objets obtenus ». Si

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)g^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

existe, ce n'est pas forcément le cas pour

${[f(t)g(t)]}_a^b$ ou pour $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)g(t)\mathrm{d}t.$

Donc si l'on cherche à calculer par exemple l'intégrale

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)g^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

impropre en Modèle:Math, on peut écrire :

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)g^{\prime }(t)\mathrm{d}t={[f(t)g(t)]}_a^x-\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)g(t)\mathrm{d}t$

avec Modèle:Math puis on effectue un passage à la limite en faisant Modèle:Math. On observe alors que si les termes

${[f(t)g(t)]}_a^{\to b}$ et $\underset{a}{\overset{\to b}{\int }}{f}^{\prime }(t)g(t)\mathrm{d}t$

sont définis, l'intégration par parties est possible.

Exemple

Pour tout complexe Modèle:Math de partie réelle strictement positive, l'intégrale

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (\mathrm{i}t)}{t^{\lambda }}\mathrm{d}t$

est égale à

${\left[\frac{\exp (\mathrm{i}t)}{\mathrm{i}{t}^{\lambda }}\right]}_1^{+\mathrm{\infty }}+\lambda \underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (\mathrm{i}t)}{\mathrm{i}{t}^{\lambda +1}}\mathrm{d}t=0-\frac{\exp (\mathrm{i})}{\mathrm{i}}+\lambda \underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (\mathrm{i}t)}{\mathrm{i}{t}^{\lambda +1}}\mathrm{d}t$,

ce qui prouve qu'elle converge.

Linéarité

La linéarité des intégrales impropres est possible mais requiert la même condition que pour l'intégration par parties : les « objets obtenus » doivent être définis. Ainsi on peut écrire

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{t^2}-{\mathrm{e}}^{-t})\mathrm{d}t=\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t-\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$

car les intégrales

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t\text{ et }\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$

sont convergentes.

Mais par contre, l'intégrale

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\sin \left(\frac{1}{t}\right)-\frac{1}{t})\mathrm{d}t$

(convergente) ne peut être scindée car les intégrales

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin \left(\frac{1}{t}\right)\mathrm{d}t\text{ et }\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t}\mathrm{d}t$

sont divergentes.

Exemples classiques

Exemples de Riemann

Pour tout x > 0, l'intégrale

$\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t^a}\mathrm{d}t$

converge si et seulement si Modèle:Math. Dans ce cas : $\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t^a}\mathrm{d}t=\frac{x^{1-a}}{a-1}$.

Pour x > 0, l'intégrale

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{s^c}\mathrm{d}s$

(impropre en Modèle:Math si Modèle:Math) converge si et seulement si Modèle:Math. Dans ce cas : $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{s^c}\mathrm{d}s=\frac{x^{1-c}}{1-c}$.

Intégrales de Bertrand

Modèle:Article connexe Plus généralement :

• l'intégraleModèle:Retraitconverge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1) ;
• l'intégraleModèle:Retraitconverge si et seulement si γ < 1 ou (γ = 1 et β > 1).

Intégrale de Dirichlet

Modèle:Article détaillé L'intégrale

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$

est semi-convergente et vaut $\frac{\pi }{2}$.

Articles connexes

• Calcul des intégrales semi-convergentes $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t^{\alpha }}\mathrm{d}t$ et $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t^{\alpha }}\mathrm{d}t$ pour $\mathrm{R}\mathrm{e}(\alpha )\in ]0,1[$
• Comparaison série-intégrale
• Intégrale de Gauss
• Intégration par changement de variable
• Transformation de Fourier
• Théorème de Poincaré-Bertrand