Intégrale de Kurzweil-Henstock

En mathématiques, et plus précisément en analyse, l'intégrale de Kurzweil-Henstock ou de Henstock-KurzweilModèle:, (ou KH-intégrale, ou intégrale de jauge ou intégrale de Riemann complète) a été mise au point indépendamment dans les années 1950 par Jaroslav Kurzweil et Modèle:Lien dans le but de présenter une théorie de l'intégration à peine plus compliquée à exposer que l'intégrale de Riemann, mais au moins aussi puissante que l'intégrale de Lebesgue. Elle est équivalente aux intégrales de Denjoy ou de Perron datant des années 1910, mais dont la présentation était assez lourde et qui étaient tombées en désuétude dans les années 1940.

Par rapport à l'intégrale de Lebesgue, la KH-intégrale présente l'avantage que toute fonction dérivée est intégrable, et qu'il n'est pas nécessaire d'introduire la notion d'intégrale impropre. Elle permet d'introduire dès les premières années de l'enseignement supérieur une intégrale dotée de théorèmes puissants et fort proche de l'intégrale de Lebesgue.

Définitions

• Soit Modèle:Math un segment réel. On appelle subdivision marquée (ou pointée) de Modèle:Math tout couple de familles finies de points Modèle:Math et Modèle:Math telles que$a=x_0<x_1<...<x_n=b\text{et}\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\},x_{i-1}⩽t_i⩽x_i.$On dit que Modèle:Math marque (ou pointe) le segment Modèle:Math.
• Si Modèle:Math est une fonction définie sur Modèle:Math à valeurs strictement positives, on dit que Modèle:Math est une jauge (sur Modèle:Math), et la subdivision est dite Modèle:Math-fine siModèle:,

$\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\},x_i-x_{i-1}⩽\delta (t_i).$

Un théorème important, le lemme de Cousin, est fréquemment utilisé dans la théorie de la KH-intégration ; il affirme que, quelle que soit la jauge choisie, il existe des subdivisions marquées plus fines que cette jauge.

• Une fonction Modèle:Math bornée ou non sur un segment Modèle:Math, à valeurs réelles ou complexes, est intégrable au sens de Kurzweil-Henstock (ou KH-intégrable), d'intégrale Modèle:Math, si : pour tout Modèle:Math, il existe une jauge Modèle:Math telle que, pour toute subdivision marquée Modèle:Math Modèle:Math-fine, on a :
  $|\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})f(t_i)-A|⩽\epsilon$. Le nombre Modèle:Math est alors unique et s'appelle l'intégrale de Modèle:Math sur Modèle:Math. On la note alors $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$
• La quantité $\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})f(t_i)$ s'appelle somme de Riemann de Modèle:Math relativement à la subdivision marquée choisie.

On remarque que si l'on prend des jauges Modèle:Math constantes, on retrouve la définition de l'intégrale de Riemann. La KH-intégrale consiste à remplacer ces jauges constantes par des jauges variables.

• Dans le cas où Modèle:Math est définie sur un intervalle Modèle:Math qui n'est pas un segment, on dit que Modèle:Math est KH-intégrable d'intégrale Modèle:Math, si, pour tout Modèle:Math, il existe une jauge Modèle:Math sur Modèle:Math et un segment Modèle:Math inclus dans Modèle:Math tels que, pour toute subdivision marquée Modèle:Math Modèle:Math-fine d'un segment inclus dans Modèle:Math et contenant Modèle:Math, on a :
  $|\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})f(t_i)-A|⩽\epsilon .$

Propriétés

• L'ensemble des fonctions KH-intégrables forme un espace vectoriel ordonné et l'intégrale est une forme linéaire positive sur cet espace.
• Sur un segment, toute fonction Riemann-intégrable est KH-intégrable (et de même intégrale).
• La notion d'intégrale impropre est inutile avec la KH-intégrale. En effet, d'après le théorème de HakeModèle:, :Modèle:RetraitOn en déduit par exemple (à l'aide du point précédent) :
  • sur le segment Modèle:Math, la fonction Modèle:Math si Modèle:Math et Modèle:Math (non Riemann-intégrable car non bornée) est KH-intégrable ;
  • sur Modèle:Math, la fonction Modèle:Math est KH-intégrable (d'intégrale Modèle:Sfrac : il s'agit de l'intégrale de Dirichlet) et sa valeur absolue ne l'est pas.
• Le second théorème fondamental de l'analyse s'exprime comme suit :Modèle:Retrait
• Le premier théorème fondamental de l'analyse s'exprime comme suit :Modèle:RetraitIl en résulte que Modèle:Math est Lebesgue-mesurable, comme limite presque partout de la suite de fonctions continues Modèle:Math.
• Une fonction Modèle:Math est Lebesgue-intégrable si et seulement si Modèle:Math et Modèle:Math sont KH-intégrables, et les deux intégrales de Modèle:Math (au sens de Lebesgue et au sens de Kurzweil-Henstock) sont alors égales. En particulier, pour les fonctions positives, la Lebesgue-intégrabilité et la KH-intégrabilité sont équivalentes. Une partie de ℝ est donc Lebesgue-mesurable et de mesure de Lebesgue finie si et seulement si sa fonction caractéristique est KH-intégrable. Par exemple :
  • la fonction de Dirichlet (valant 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels, et qui n'est pas localement Riemann-intégrable) est Lebesgue-intégrable et donc KH-intégrable (d'intégrale nulle).
  • si V est une partie non mesurable de Modèle:Math, sa fonction caractéristique Modèle:Math, positive et non Lebesgue-mesurable, n'est pas KH-intégrable (donc Modèle:Math non plus).
• Le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée sont vrais avec la KH-intégrale. Ce dernier se déduit d'un théorème de convergence encadrée, plus fort car il permet de traiter le cas de fonctions dont la valeur absolue n'est pas intégrable.

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale de Daniell
• Intégrale de Stieltjes
• Intégrale d'Itō
• Modèle:Lien

Bibliographie

• Jean-Yves Briend, Petit traité d'intégration, EDP Sciences, 2014 Modèle:Présentation en ligne
• Roger Cuculière, « Quelle intégrale pour l'an 2000 ? », Repères IREM, Modèle:N°, Modèle:Date-
• Clément Kesselmark et Laurent Moonens, « Les théorèmes fondamentaux du calcul intégral », Gazette des mathématiciens, Modèle:N°, Modèle:Date-, Modèle:P.
• Jean Mawhin, Analyse. Fondements, techniques, évolution, Accès Sciences, De Boeck Université, Bruxelles, 1993