Lemme de Cousin

En mathématiques, le lemme de Cousin (du nom du mathématicien français Pierre Cousin) est une propriété de la droite réelle équivalente à l'existence de la borne supérieure pour les parties non vides et majorées de ℝ. Il joue un rôle important dans l'intégrale de Kurzweil-Henstock, mais permet également de démontrer directement des théorèmes d'analyse.

Historique

En 1894, Pierre Cousin, Modèle:Refsou, démontra une variante du théorème de Borel-Lebesgue, connue parfois à présent sous le nom de théorème de Cousin, mais ce travail fut pour l'essentiel ignoré, et fut redécouvert indépendamment par Borel et Lebesgue quelques années plus tard. Le lemme de Cousin en est une simple conséquence dans le cas d'un intervalle réel ; ce nom lui fut donné par Kurzweil et Henstock en raison de l'importance de cette forme du théorème de Borel dans la définition de leur intégrale.

Énoncé

Le lemme de Cousin s'énonce comme suit :

On dit que Modèle:Math marque le segment Modèle:Math, et que la subdivision Modèle:Math marquée par les points Modèle:Math est Modèle:Math-fineModèle:,. On utilisera souvent le fait qu'alors, Modèle:Math est inclus dans Modèle:Math.

L'intégrale de Kurzweil-Henstock

L'intégrale de Riemann est une définition de l'intégrale généralement accessible aux étudiants de premier cycle universitaire, mais elle présente plusieurs inconvénients. Un certain nombre de fonctions relativement simples ne possèdent pas d'intégrale au sens de Riemann, par exemple la fonction de Dirichlet. Par ailleurs, cette théorie de l'intégration rend malaisées les démonstrations et l'utilisation des théorèmes puissants d'intégration, tels que le théorème de convergence dominée, le théorème de convergence monotone ou le théorème d'interversion série-intégrale. Ces lacunes sont comblées par l'intégrale de Lebesgue mais celle-ci est plus complexe et difficilement accessible dans les premières années du supérieur.

Kurzweil et Henstock ont proposé une théorie de l'intégration, guère plus difficile que la théorie de Riemann, mais aussi puissante que la théorie de Lebesgue, en posant :

Si l'on prend des jauges constantes, on retrouve l'intégrale de Riemann.

Dans cette théorie, le lemme de Cousin joue un rôle essentiel.

Quelques applications en analyse

Nous donnons ci-dessous quelques exemples de propriétés susceptibles d'être directement démontrées au moyen du lemme de Cousin. Dans chacun des cas, il suffit de choisir une jauge adéquate.

Existence de la borne supérieure

La propriété de la borne supérieure, qui a permis de démontrer le lemme de Cousin pour ℝ, lui est en fait équivalente (pour tout corps totalement ordonné K).

En effet, si A est une partie de K sans borne supérieure, contenant un élément Modèle:Math et majorée par un élément Modèle:Math, montrons que le lemme de Cousin n'est pas satisfait pour la jauge suivante sur Modèle:Math :

• si Modèle:Math ne majore pas A, il existe Modèle:Math dans A tel que Modèle:Math. On prend alors Modèle:Math dans Modèle:Math.
• si Modèle:Math est un majorant de A, il existe un majorant Modèle:Math de A tel que Modèle:Math (puisque par hypothèse, Modèle:Math n'est pas une borne supérieure de A). On pose alors Modèle:Math.

Si Modèle:Math possédait une subdivision marquée Modèle:Math Modèle:Math-fine, on aurait :

• si Modèle:Math ne majore pas A alors Modèle:Math non plus (car Modèle:Math pour un certain Modèle:Math dans A), donc si Modèle:Math majore A alors Modèle:Math aussi ;
• si Modèle:Math majore A alors Modèle:Math aussi (car Modèle:Math pour un certain majorant Modèle:Math de A).

Par conséquent, de proche en proche (à partir de Modèle:Math) tous les Modèle:Math et les Modèle:Math majoreraient A, ce qui contredirait l'hypothèse initiale (Modèle:Math serait le plus grand élément de A).

Le théorème des bornes

Soit Modèle:Math continue sur un segment Modèle:Math. Supposons que Modèle:Math n'admet pas de maximum et montrons qu'alors, le lemme de Cousin n'est pas satisfait pour la jauge suivante sur Modèle:Math : Modèle:Retrait Si Modèle:Math possédait une subdivision marquée Modèle:Math Modèle:Math-fine, on aurait : pour chaque Modèle:Math, il existe Modèle:Math tel que Modèle:Math. Soit Modèle:Math tel que Modèle:Math soit le plus grand des Modèle:Math. L'élément Modèle:Math est dans l'un des intervalles Modèle:Math de la subdivision, mais il doit alors vérifier, comme les autres éléments de cet intervalle : Modèle:Math, ce qui est contradictoire avec la maximalité de Modèle:Math.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Soit Modèle:Math continue sur Modèle:Math et ne s'annulant pas. Montrons que Modèle:Math est de signe constant, en appliquant le lemme de Cousin à la jauge suivante sur Modèle:Math :

• si Modèle:Math, on prend Modèle:Math tel que Modèle:Math ;
• si Modèle:Math, on prend Modèle:Math tel que Modèle:Math.

Soit Modèle:Math une subdivision marquée Modèle:Math-fine, alors Modèle:Math est de signe constant sur chaque intervalle Modèle:Math donc sur tout l'intervalle Modèle:Math.

Le théorème de Heine dans le cas réel

Soit Modèle:Math continue sur Modèle:Math, et soit Modèle:Math. Pour tout Modèle:Math, il existe Modèle:Math tel que Modèle:Math est inclus dans Modèle:Math.

Soient Modèle:Math une subdivision marquée Modèle:Math-fine, puis Modèle:Math le plus petit des Modèle:Math. Si Modèle:Math et Modèle:Math sont tels que Modèle:Math, et si Modèle:Math est dans l'intervalle Modèle:Math, alors Modèle:Math et Modèle:Math, de sorte que Modèle:Math et Modèle:Math sont tous deux dans Modèle:Math donc dans Modèle:Math. Il en résulte que Modèle:Math. On a ainsi montré que Modèle:Math est uniformément continue.

Approximation d'une fonction continue par des fonctions en escalier

Soit Modèle:Math continue sur Modèle:Math, et soit Modèle:Math. L'application Modèle:Math étant continue, pour tout Modèle:Math de Modèle:Math, il existe Modèle:Math tel que Modèle:Math est inclus dans Modèle:Math. Soient Modèle:Math une subdivision marquée Modèle:Math-fine, puis Modèle:Math la fonction en escalier définie comme suit :

• Modèle:Math ;
• pour tout élément Modèle:Math de Modèle:Math, Modèle:Math.

Alors, Modèle:Math approche Modèle:Math uniformément à Modèle:Math près.

Le théorème de relèvement

Soit Modèle:Math continue sur Modèle:Math et à valeurs dans le cercle unité 𝕌 du plan complexe. Pour tout Modèle:Math, il existe Modèle:Math tel que Modèle:Math soit inclus dans 𝕌 privé d'un point. L'application Modèle:Math possède alors un relèvement local sur Modèle:Math. Par exemple, si Modèle:Math est inclus dans 𝕌\{–1}, on prendra comme relèvement (à un multiple de Modèle:Math près) la fonction Modèle:Math égale à Modèle:Math si Modèle:Math et à Modèle:Math si Modèle:Math. Si l'on considère une subdivision marquée Modèle:Math-fine Modèle:Math de Modèle:Math, on obtient un relèvement local Modèle:Math sur chaque sous-intervalle Modèle:Math de la subdivision. On obtiendra un relèvement global continu en ajoutant au besoin à la fonction Modèle:Math le nombre Modèle:Math, de façon à obtenir la continuité au point Modèle:Math.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass dans le cas réel

Soit une suite réelle bornée, donc à valeurs dans un segment Modèle:Math.

(i) Si Modèle:Math est une valeur d'adhérence de la suite, on prend Modèle:Math quelconque strictement positif.

(ii) Sinon, il existe Modèle:Math tel que l'intervalle Modèle:Math ne contienne qu'un nombre fini de termes de la suite.

Le lemme de Cousin affirme l'existence d'une subdivision marquée Modèle:Math-fine. Cela impose nécessairement au moins un marqueur du type (i), car si tous les marqueurs étaient du type (ii), la suite n'aurait qu'un nombre fini de termes.

Le théorème de Borel-Lebesgue dans le cas réel

Soit (O_i) une famille d'ouverts recouvrant un segment [a,b]. Pour tout Modèle:Math de [a,b], Modèle:Math est dans l'un des O_i. Ce dernier étant ouvert, il existe Modèle:Math tel que l'intervalle Modèle:Math soit inclus dans O_i. Le lemme de Cousin affirme l'existence d'une subdivision marquée Modèle:Math-fine. Chaque intervalle de cette subdivision est inclus dans l'un des O_i, ce qui définit un recouvrement de [a,b] par un nombre fini d'ouverts O_i.

Fonction continue à dérivée nulle sauf sur un ensemble dénombrable

Soit Modèle:Math une fonction continue définie sur un intervalle réel Modèle:Math et dont la dérivée Modèle:Math est définie et nulle, sauf en un nombre dénombrable de points. Alors Modèle:Math est constante. En effet, soit Modèle:Math. Posons :

(i) Si Modèle:Math est égal à l'un des points Modèle:Math, Modèle:Math entier, en lesquels la dérivée n'est pas définie ou n'est pas nulle, utilisant la continuité de Modèle:Math, choisissons Modèle:Math tel que, pour tout Modèle:Math dans Modèle:Math, Modèle:Math. Puisque la variation de Modèle:Math sur l'intervalle Modèle:Math est au plus Modèle:Sfrac, la somme de ces variations sur tous ces intervalles, lorsque Modèle:Math décrit l'ensemble des entiers, est majorée par Modèle:Math.

(ii) Sinon, Modèle:Math donc il existe Modèle:Math tel que, pour tout Modèle:Math dans Modèle:Math, on ait Modèle:Math. Puisque la variation de Modèle:Math sur l'intervalle Modèle:Math est au plus Modèle:Math fois la longueur de l'intervalle, la somme de ces variations sur une réunion de tels intervalles est majorée par Modèle:Math fois la somme des longueurs des intervalles.

Pour tout Modèle:Math dans Modèle:Math, le lemme de Cousin fournit une subdivision marquée Modèle:Math-fine. En distinguant les marqueurs du type (i) et du type (ii), on obtient Modèle:Math, car Modèle:Math est un majorant de la somme des longueurs des intervalles de la subdivision du type (ii). L'inégalité étant vraie pour tout Modèle:Math, il en résulte que Modèle:Math.

Fonction lipschitzienne à dérivée nulle presque partout

Soit Modèle:Math une fonction [[Application lipschitzienne|Modèle:Math-lipschitzienne]] sur un intervalle réel Modèle:Math et dont la dérivée Modèle:Math est définie et nulle presque partout. Alors Modèle:Math est constante. En effet, soit Modèle:Math et soit Modèle:Math un ouvert de mesure inférieure à Modèle:Math contenant les points où la dérivée de Modèle:Math est non nulle ou non définie.

(i) Si Modèle:Math est un point de Modèle:Math, choisissons Modèle:Math tel que tel que Modèle:Math soit inclus dans Modèle:Math. Pour tout Modèle:Math et tout Modèle:Math dans cet intervalle, Modèle:Math. Remarquons que la variation de Modèle:Math sur cet intervalle est au plus Modèle:Math fois la longueur de l'intervalle, et que la somme des longueurs de tels intervalles disjoints (sauf en leur extrémité) est inférieure à la mesure de Modèle:Math.

(ii) Sinon, Modèle:Math donc il existe Modèle:Math tel que, pour tout pour tout Modèle:Math dans Modèle:Math, on ait Modèle:Math. Puisque la variation de Modèle:Math sur l'intervalle Modèle:Math est au plus Modèle:Math fois la longueur de l'intervalle, la somme de ces variations sur une réunion de tels intervalles est majorée par Modèle:Math fois la somme des longueurs des intervalles.

Pour tout Modèle:Math dans Modèle:Math, le lemme de Cousin fournit une subdivision marquée Modèle:Math-fine. En distinguant les marqueurs du type (i) et du type (ii), on obtient Modèle:Math, car Modèle:Math est un majorant de la somme des longueurs des intervalles de la subdivision du type (ii). L'inégalité étant vraie pour tout Modèle:Math, il en résulte que Modèle:Math.

Une démonstration analogue s'applique aux fonctions absolument continues.

Le théorème fondamental de l'analyse

Modèle:Voir Soit Modèle:Math dérivable sur Modèle:Math de dérivée Modèle:Math. Alors Modèle:Math, bien que non nécessairement continue, est KH-intégrable et $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=F(b)-F(a)$.

En effet, soit Modèle:Math. Pour tout Modèle:Math de Modèle:Math, il existe Modèle:Math tel que, pour tout Modèle:Math dans Modèle:Math tel que Modèle:Math, on ait :

$|\frac{F(x)-F(t)}{x-t}-f(t)|\le \epsilon$

ou encore : pour tout Modèle:Math dans Modèle:Math tel que Modèle:Math,

$|F(x)-F(t)-(x-t)f(t)|\le \epsilon |x-t|.$

Pour toute subdivision marquée Modèle:Math Modèle:Math-fine, on aura donc :

$\begin{array}{cc}|F(x_i)-F(x_{i-1})-(x_i-x_{i-1})f(t_i)|& \le |F(x_i)-F(t_i)-(x_i-t_i)f(t_i)|+|F(t_i)-F(x_{i-1})-(t_i-x_{i-1})f(t_i)|\\ & \le \epsilon (x_i-t_i)+\epsilon (t_i-x_{i-1})\\ & =\epsilon (x_i-x_{i-1})\end{array}$

et en sommant ces inégalités :

$|F(b)-F(a)-\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})f(t_i)|\le \epsilon (b-a).$

Or cette inégalité signifie que Modèle:Math est KH-intégrable et que son intégrale vaut Modèle:Math.

On peut montrer que la conclusion reste vraie si Modèle:Math est dérivable sauf en un nombre dénombrable de points.