Théorème d'interversion série-intégrale

Modèle:Sources En analyse, divers théorèmes d'interversion série-intégrale donnent des conditions suffisantes d'intégration terme à terme de la somme d'une série de fonctions.

Version intégrale de Lebesgue

Remarques

• Ce théorème se déduit des théorèmes de convergence monotone et dominée. L'intégrabilité de la série et l'interversion de $\sum$ et $\int$ subsistent sous une hypothèse bien plus faible : il suffit que la série $\sum f_n$ converge presque partout et qu'il existe une fonction intégrable $g$ telle que, pour tout entier $N,\left|\sum _{n\le N}{f}_n\right|\le g$.
• C'est un cas particulier des théorèmes de Fubini où une des intégrales se fait par rapport à la mesure de comptage sur ℕ.
• Dans le cas particulier où l'espace mesuré est ℕ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à valeurs dans E, sous l'hypothèse de sommabilité.

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