Mesure de comptage

Modèle:Ebauche La mesure de comptage (ou mesure de dénombrement) est une mesure positive associée à la cardinalité d'un ensemble.

Si l'on note $\mu$ la mesure de comptage sur la tribu des parties d'un ensemble $X$, on a, pour tout $A\subset X$ : $$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}|A|& \text{si }A\text{ est fini}\\ +\mathrm{\infty }& \text{si }A\text{ est infini.}\end{array}$$

Par définition de l'intégrale de Lebesgue, pour toute application $f:X\to {ℝ}_{+}$, on a :

$\int f\mathrm{d}\mu =\sum _{y\in {ℝ}_{+}}y|f^{-1}(\{y\})|=\sum _{x\in X}f(x)$.

L'intégrale pour la mesure de comptage est donc une somme (ou une série). Elle est particulièrement utile avec les suites numériques. Ainsi les divers théorèmes associés à la théorie de la mesure s'appliquent aux séries (inversion série/intégrale et série/limite par exemple).

Exemples

Soit $E$ un ensemble fini de réels. L'intégrale de l'application identité ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ est $\int {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\mathrm{d}\mu =\sum _{x\in E}x$.

Soit une suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de réels positifs et son application associée $u:\mathbb{N}\to {ℝ}_{+},n\mapsto u_n$. On a $\int u\mathrm{d}\mu =\sum _{n\in \mathbb{N}}{u}_n$.