Théorème de Bolzano-Weierstrass

En mathématiques, et plus précisément en analyse réelle, le théorème de Bolzano-Weierstrass, nommé d'après les mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass, énonce

ce qui peut se reformuler en termes de valeurs d'adhérence :

Le théorème s'exprime également sous une forme plus topologique :

Enfin, on peut généraliser le théorème à ${ℝ}^n$, ou encore à tout espace vectoriel normé de dimension finie sur $ℝ$.

Démonstration (cas réel)

Il existe au moins deux démonstrations usuelles de ce théorème.

La première fait appel à l'extraction d'une suite monotone. Considérons une suite réelle bornée. Elle admet une sous-suite monotone (Modèle:Cf. propriétés des sous-suites), qui est également bornée. Par le théorème de la limite monotone, cette sous-suite converge.

La seconde preuve s'appuie sur une dichotomieModèle:,Modèle:,. Soit $(u_n)$ une suite réelle bornée. Soit un minorant $m$ et un majorant $M$ de $(u_n)$. On pose $m_0=m,M_0=M$. Notons $d_0=(m_0+M_0)/2$ le milieu de l'intervalle $[m_0,M_0]$. Tous les termes de $(u_n)$ sont dans $[m_0,M_0]$, et il y en a une infinité, donc il y en a une infinité dans au moins l'un des deux intervalles $[m_0,d_0]$ et $[d_0,M_0]$. Itérons le processus : posons $m_1=m_0,M_1=d_0$ ou $m_1=d_0,M_1=M_0$ de sorte qu'il y ait une infinité de termes de $(u_n)$ dans $[m_1,M_1]$, et posons $d_1=(m_1+M_1)/2$ le milieu de $[m_1,M_1]$. À nouveau, il y a une infinité de termes de $(u_n)$ dans $[m_1,d_1]$ ou dans $[d_1,M_1]$, et on peut continuer infiniment. Les suites $(m_n)$ et $(M_n)$ sont adjacentes car $(m_n)$ est croissante, $(M_n)$ est décroissante et l'écart entre les deux est divisé par 2 à chaque étape. Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une limite commune $l$. On pose $\phi (0)=0$, et pour tout $n$, on choisit $\phi (n+1)$ comme le plus petit entier strictement supérieur à $\phi (n)$ tel que $u_{\phi (n+1)}$ appartienne à $[m_{n+1},M_{n+1}]$, ce qui est possible car une infinité de termes de $(u_n)$ appartiennent à $[m_{n+1},M_{n+1}]$. Alors, par le théorème des gendarmes, la suite $(u_{\phi (n)})$ extraite de $(u_n)$ tend vers $l$.

Généralisation aux ℝ-espaces vectoriels normés de dimension finie

Le théorème s'applique toujours en remplaçant $ℝ$ par un $ℝ$-espace vectoriel normé de dimension finie. En particulier, il est vrai dans $ℂ$ muni du module complexe.

Cette généralisation peut se prouver à partir du cas réel. Soit un $ℝ$-espace vectoriel normé de dimension finie $d$, assimilé sans perte de généralité à ${ℝ}^d$ muni d'une norme $\Vert \cdot \Vert$, et soit une suite bornée de vecteurs. On remarque que la suite des premières coordonnées est bornée. En appliquant le théorème dans le cas réel, on extrait une sous-suite de vecteurs telle que les premières coordonnées convergent. On extrait alors de cette sous-suite une sous-sous-suite qui fait converger les deuxièmes coordonnées des vecteurs, et ainsi de suite jusqu'aux $d$-ièmes coordonnées. La sous-suite ainsi obtenue converge dans ${ℝ}^d$.

Lien avec la compacité

Une généralisation du théorème affirme qu'un espace métrisable Modèle:Mvar est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de Modèle:Mvar admet une valeur d'adhérence dans Modèle:Mvar ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de Modèle:Mvar.

Cet énoncé peut se décomposer en :

• Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
  • Dans un espace (non nécessairement métrisable) compact ou même seulement dénombrablement compact, toute suite admet une valeur d'adhérence :Modèle:Retrait
  • Dans tout espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes :Modèle:Retrait
• L'énoncé proprement dit, le « si » :

Voir aussi

Articles connexes

Lemme de Cousin

Bibliographie

• Georges Skandalis, Topologie et analyse Modèle:3e, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
• Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995