Plan complexe
En mathématiques, le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss[1]) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique. Le nombre complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.
Définition
On associe en général le plan complexe à un repère orthonormé direct. Dans un tel repère, tout point Modèle:Mvar est l'image d'un unique nombre complexe Modèle:Mvar qui est appelé affixe de cet unique point (le genre du nom affixe est discuté : le dictionnaire de l'Académie française le renseigne comme masculin[2], les dictionnaires commerciaux l'annoncent comme féminin[3]) : on note Modèle:Math.
Pour tout nombre complexe Modèle:Mvar tel que Modèle:Math où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des réels, on a la relation . On peut ainsi dire que la partie réelle de Modèle:Mvar est l'abscisse de Modèle:Mvar et que la partie imaginaire de Modèle:Mvar en est son ordonnée.
D'après cette égalité, tous les points de l'axe sont tels que la partie imaginaire de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre réel. En conséquence, on appelle l'axe axe des réels.
De la même façon, tous les points de l'axe sont tels que la partie réelle de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre imaginaire pur. En conséquence, on appelle l'axe axe des imaginaires purs.
Modèle:Math sont les coordonnées cartésiennes du point M, unique représentant du nombre Modèle:Math dans le plan complexe. On peut aussi écrire Modèle:Mvar avec les coordonnées polaires Modèle:Math du point M, ce qui correspond à l'écriture exponentielle Modèle:Math. Dans ce cas, Modèle:Mvar est le module du nombre z et Modèle:Math est un de ses arguments (modulo Modèle:Math).
Transformations du plan
La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes. Ainsi, la translation d'un vecteur donné correspond à l'addition de son affixe.
Une rotation d'un angle Modèle:Math autour de l'origine correspond à la multiplication de l'affixe par le nombre Modèle:Math, qui est un nombre complexe de module 1.
Une homothétie de rapport Modèle:Mvar (réel) et de centre l'origine du plan correspond à la multiplication de l'affixe par Modèle:Mvar.
Articles connexes
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Lien externe
- Jean-Robert Argand, Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 1806, en ligne et commenté sur le site Bibnum