Somme de Riemann

Modèle:Ébauche Modèle:Confusion En mathématiques, et plus précisément en analyse, les sommes de Riemann sont des sommes finies approchant des intégrales. En pratique, elles permettent de calculer numériquement des aires sous la courbe de fonctions ou des longueurs d'arcs, ou inversement, de donner une valeur à des suites de sommes. Elles peuvent également être utilisées pour définir la notion d'intégration. Leur nom vient du mathématicien allemand Bernhard Riemann.

L'idée directrice derrière la construction des sommes revient à approcher la courbe par une fonction constante par morceaux, avec des valeurs choisies de sorte à approcher au mieux la fonction originelle, puis à additionner les aires des rectangles ainsi formés, et enfin réduire la largeur de ces rectangles. C'est la mise en application de l'intégrale de Riemann.

Définition du cas le plus usuel

Soit $f:[a,b]\to ℝ$ une fonction définie en tout point du segment Modèle:Math. On se donne une subdivision marquée Modèle:Math. La somme de Riemann de Modèle:Mvar sur Modèle:Math liée à Modèle:Mvar est définie par :

$S(f,\sigma )=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})f(t_i).$

Si le pas de la subdivision Modèle:Mvar tend vers zéro, alors la somme de Riemann générale converge vers $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$. C'est d'ailleurs la définition originale par Riemann de son intégrale.

Si, au lieu de demander que les sommes de Riemann convergent vers une limite Modèle:Mvar lorsque le pas est majoré par un nombre Modèle:Mvar qui tend vers zéro, on demande que les sommes de Riemann puissent être rendues arbitrairement proches d'une valeur Modèle:Mvar lorsque Modèle:Math, avec Modèle:Mvar une fonction strictement positive, on arrive au concept de l'intégrale de Kurzweil-Henstock. C'est une généralisation qui permet d'intégrer plus de fonctions, mais qui donne la même valeur à l'intégrale lorsque la fonction est déjà intégrable au sens de Riemann.

Cas particuliers

Certains choix de Modèle:Mvar sont plus répandus :

• pour Modèle:Math pour tout Modèle:Mvar, on parle de méthode des rectangles à gauche
• pour Modèle:Mvar pour tout Modèle:Mvar, on parle de méthode des rectangles à droite
• pour Modèle:Math pour tout Modèle:Mvar, on parle de méthode du point médian
• pour Modèle:Math pour tout Modèle:Mvar, on parle de somme de Riemann supérieure ou somme de Darboux supérieure
• pour Modèle:Math pour tout Modèle:Mvar, on parle de somme de Riemann inférieure ou somme de Darboux inférieure

Ces deux derniers cas constituent la base de l'intégrale de Darboux.

Un cas couramment rencontré est celui d'une subdivision à pas constant : pour un entier Modèle:Math et une subdivision régulière

$x_k=a+k\frac{b-a}{n}\text{avec}0\le k\le n,$

la somme de Riemann (Modèle:Refnec) associée à Modèle:Mvar est alors :

$S_n(f)=\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(a+k\frac{b-a}{n})=\sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(x_k).$

Ces sommes de Riemann équidistantes sont celles de la méthode des rectangles (à droite) pour le calcul des intégrales ; leur intérêt principal vient du « théorème » suivant, qui est en réalité un cas particulier de la définition de l'intégrale de Riemann : si Modèle:Mvar est intégrable au sens de Riemann,

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$

Exemple : la somme de Riemann associée à la fonction $x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ sur une subdivision régulière de Modèle:Math converge vers Modèle:Math : Modèle:Retrait

Du point de vue du calcul numérique il est plus avantageux de considérer les sommes (méthode des trapèzes) :

$T_n=\frac{b-a}{n}(\frac{1}{2}f(a)+f(a+\frac{b-a}{n})+\dots +f(a+(n-1)\frac{b-a}{n})+\frac{1}{2}f(b)),$

qui s'obtiennent en faisant la moyenne des méthodes des rectangles à gauche et à droite.

Applications

Les sommes à pas variables ont aussi leur utilité dans les mathématiques, et ce dès le niveau lycée, comme le montre la méthode de Wallis pour faire la quadrature des fonctions puissances Modèle:Math. Soit Modèle:Math et Modèle:Math. Écrivons Modèle:Mvar, et prenons comme subdivision du segment Modèle:Math celle définie par les Modèle:Math. Avec comme points d'évaluations Modèle:Math, on obtient la somme

$S_N=\sum _{k=0}^{N-1}a{\omega }^k(\omega -1)a^{\alpha }{\omega }^{k\alpha }=a^{\alpha +1}\frac{(\omega -1)({\omega }^{N(\alpha +1)}-1)}{{\omega }^{\alpha +1}-1}=\frac{\omega -1}{{\omega }^{\alpha +1}-1}(b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1})$

Lorsque Modèle:Math, on a Modèle:Math (en effet avec Modèle:Math, on a Modèle:Math) et $\frac{{\omega }^{\alpha +1}-1}{\omega -1}\to \alpha +1$, (facile lorsque Modèle:Mvar est entier puisque le quotient vaut alors Modèle:Math et vrai en général). D'où

$\lim S_N=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$

Le pas de la subdivision est Modèle:Math et il tend vers zéro puisque comme nous l'avons déjà indiqué Modèle:Math pour Modèle:Math (concrètement Modèle:Math avec à nouveau Modèle:Math). On trouve ou retrouve donc

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }\mathrm{d}x=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$

Le cas Modèle:Math (quadrature de l'hyperbole), était exclu dans le calcul ci-dessus et en effet il est particulier. On doit reprendre le calcul de Modèle:Mvar qui vaut maintenant Modèle:Math. On obtient la relation suivante :

$\lim N((b/a{)}^{\frac{1}{N}}-1)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t}(=\ln (b/a))$

Une relation bien connue qui s'insère dans la théorie générale des fonctions logarithme et exponentielle et de leurs rapports avec les fonctions puissances. Si ces fonctions et leurs propriétés sont connues, on peut en effet retrouver la limite ci-dessus en écrivant

$N((b/a{)}^{\frac{1}{N}}-1)=\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{N}\log (b/a)}-1}{\frac{1}{N}}$

et en rappelant que $\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{ϵx}-1}{ϵ}=x$ car cela revient à calculer la dérivée au point Modèle:Math de la fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{tx}$.

Animations

• 
  Somme à gauche.
• 
  Somme à droite.
• 
  Somme au milieu.
• 
  Avec $y=x^2$.

Définitions pour les dimensions supérieures

L'idée générale de l'intégrale de Riemann est de découper le domaine d'intégration en sous-domaines, définir une mesure de chaque sous-domaine et la pondérer par une valeur de la fonction à intégrer en un point à l'intérieur du sous-domaine, et de sommer toutes ces valeurs. On voit ainsi que cette idée peut être généralisée simplement aux cas d'intégrales multi-dimensionnelles ou avec une mesure autre que la mesure (usuelle) de Lebesgue.

Dimension supérieure à 2

Le domaine Modèle:Math de dimension Modèle:Mvar est découpé en un nombre fini de cellules Modèle:Math, de volumes respectifs Modèle:Math disjoints deux à deux, dont la réunion vaut Modèle:Math.

Une somme de Riemann d'une fonction Modèle:Mvar à valeur réelles définie sur Modèle:Math s'écrit alors :

$S=\sum _{k=1}^{p}f(t_k)\times \mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}_k,$

avec Modèle:Mvar, un point quelconque de Modèle:Math.

Les volumes correspondent ainsi aux longueurs des intervalles en dimension 1, aux surfaces des cellules en dimensions 2, aux volumes des cellules en dimensions 3, etc.

Pour une mesure différente

Formellement, on peut utiliser une autre mesure que le volume. On introduit ainsi une mesure positive Modèle:Mvar. La somme de Riemann s'écrit alors :

$S=\sum _{k=1}^{p}f(t_k)\mu ({\mathrm{\Omega }}_k).$

Articles connexes

• Calcul numérique d'une intégrale

Liens externes

• Modèle:MathWorld