Intégrale de Stieltjes

Thomas Stieltjes (1856-1894).

L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées Modèle:Math et Modèle:Math définies sur un intervalle fermé Modèle:Math, ainsi qu'une subdivision Modèle:Math de cet intervalle. Si la somme de Riemann

$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(g(x_i)-g(x_{i-1})),$

avec Modèle:Math, tend vers une limite Modèle:Math lorsque le pas Modèle:Math tend vers 0, alors Modèle:Mvar est appelée l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes) de la fonction Modèle:Math par rapport à Modèle:Math. On la note

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)$

ou simplement Modèle:Math.

Propriétés

Si les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas.

Cependant, si Modèle:Math est continue et Modèle:Math à variation bornée, cette intégrale est bien définieModèle:,. Elle l'est également si Modèle:Math est seulement Riemann-intégrable mais Modèle:Math est absolument continue, et elle coïncide alors avec l'intégrale de Modèle:Math au sens de Lebesgue (ou de Riemann si de plus Modèle:Math est Riemann-intégrable) :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$

De plus, dans ces conditions suffisantes d'existence, Modèle:Math et Modèle:Math sont interchangeables. En effet : Modèle:Théorème

Modèle:Théorème La première formule se démontre comme dans le [[Théorème de la moyenne#Généralisation|cas où Modèle:Math est continûment dérivable]]. La deuxième s'en déduit grâce au théorème d'intégration par parties. Un corollaire de cette deuxième formule est : si Modèle:Math est intégrable sur Modèle:Math et si Modèle:Math est monotone, il existe un Modèle:Math tel que

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)h(x)\mathrm{d}x=g(a)\underset{a}{\overset{c}{\int }}h(x)\mathrm{d}x+g(b)\underset{c}{\overset{b}{\int }}h(x)\mathrm{d}x.$

Si Modèle:Math est non seulement monotone mais décroissante positive, on peut la rendre nulle en Modèle:Math avant de lui appliquer ce corollaire (cela ne change pas la valeur de Modèle:Math).

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale de Lebesgue
• Intégration de Lebesgue-Stieltjes
• Intégrale de Kurzweil-Henstock
• Intégrale d'Itō
• Formule sommatoire d'Abel

Bibliographie

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