Intégration de Lebesgue-Stieltjes

En théorie de la mesure, lModèle:'intégrale de Lebesgue-Stieltjes généralise les intégrales de Riemann-Stieltjes et de Lebesgue, avec les avantages de la première méthode dans un contexte de théorie de la mesure plus général. L'intégrale de Lebesgue-Stieltjes est l'intégrale de Lebesgue classique faite selon une mesure dite de Lebesgue-Stieltjes, qui peut être associée à une fonction à variation bornée sur la droite réelle. La mesure de Lebesgue–Stieltjes est une mesure de Borel régulière, et réciproquement, toute mesure de Borel régulière sur la droite réelle est d'un tel type.

Les intégrales de Lebesgue–Stieltjes, nommées d'après Henri Lebesgue et Thomas Joannes Stieltjes, sont aussi appelées intégrales de Lebesgue-Radon ou plus simplement intégrales de Radon, du nom de Johann Radon, qui a produit une grande partie de la théorie sur laquelle elle repose. Leurs applications les plus communes sont dans la théorie des probabilités et les processus stochastiques, et dans certaines branches de l'analyse dont la théorie du potentiel.

Définition

L'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)$

est définie pour  $f:[a,b]\to ℝ$  Borel-mesurable et bornée et  $g:[a,b]\to ℝ$  à variation bornée sur Modèle:Math et continue à droite, ou si Modèle:Math positive et Modèle:Mvar monotone et continue à droite. On supposera d'abord Modèle:Math positive et Modèle:Mvar croissante et continue à droite. On définit Modèle:Mvar sur les intervalles : Modèle:Math et Modèle:Math (si Modèle:Mvar est continue à gauche, on pourra poser Modèle:Math et Modèle:Math).

Par le théorème d'extension de Carathéodory, il existe une unique mesure de Borel Modèle:Mvar sur Modèle:Math égale à Modèle:Mvar sur tout intervalle Modèle:Mvar. La mesure Modèle:Mvar émerge d'une mesure extérieure (en fait, une mesure métrique définie par

${\mu }_g(E)=\inf \{\sum _{i}w(I_i):E\subset \bigcup _i{I}_i\}$

l'infimum étant pris sur tous les recouvrements de Modèle:Mvar par des intervalles semi-ouverts dénombrables. Cette mesure est parfois appelée la mesure de Lebesgue–Stieltjes associée avec Modèle:Mvar.

L'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)$

est définie comme l'intégrale de Lebesgue de Modèle:Math selon la mesure Modèle:Mvar classique. Si Modèle:Mvar est décroissante, on pose

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x):=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}(-g)(x),$

et on revient à la définition précédente.

Si Modèle:Mvar est à variation bornée et Modèle:Math est bornée, il est possible d'écrire

$\mathrm{d}g(x)=\mathrm{d}{g}_1(x)-\mathrm{d}{g}_2(x)$

où Modèle:Math est la variation totale de Modèle:Mvar sur l'intervalle Modèle:Math, et Modèle:Math. Les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math sont toutes deux monotones croissantes. Alors l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes selon Modèle:Mvar est définie par

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}{g}_1(x)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}{g}_2(x),$

avec les deux intégrales définies selon les constructions précédentes.

Intégrale de Daniell

Une approche alternative Modèle:Harv revient à définir l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes comme l'intégrale de Daniell par extension de l'intégrale de Riemann–Stieltjes usuelle. Soit Modèle:Mvar une fonction croissante continue à droite sur Modèle:Math, et on note Modèle:Math l'intégrale de Riemann–Stieltjes

$I(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)$

pour toute fonction continue Modèle:Math. La fonctionnelle Modèle:Mvar définit une mesure de Radon sur Modèle:Math. On peut étendre cette fonctionnelle sur la classe de toutes les fonctions positives en posant :

$\begin{array}{cc}\bar{I}(h)& =\sup \{I(f):f\in C[a,b],0\le f\le h\}\\ \underset{\_}{I}(h)& =\inf \{I(f):f\in C[a,b],h\le f\}.\end{array}$

Pour les fonctions Borel-mesurables, on a

$\bar{I}(h)=\underset{\_}{I}(h),$

et les deux termes peuvent servir à définir l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes de Modèle:Mvar. La mesure extérieure Modèle:Mvar est définie par

${\mu }_g(A)=\underset{\_}{I}({\chi }_A)$

où Modèle:Mvar est la fonction indicatrice de Modèle:Mvar.

Les intégrandes à variation bornée sont considérés comme précédemment en séparant les variations positive et négative.

Exemple

Supposons Modèle:Math un arc rectifiable sur le plan et Modèle:Math une fonction Borel-mesurable. Alors on peut définir la longueur de Modèle:Mvar selon la métrique euclidienne pondérée par Modèle:Mvar par

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\rho (\gamma (t))\mathrm{d}\ell (t),$

avec $\ell (t)$ la longueur de la restriction de Modèle:Mvar sur Modèle:Math. On appelle parfois cette valeur la Modèle:Mvar-longueur de Modèle:Mvar. Cette notion est utile pour plusieurs applications : par exemple, dans un terrain boueux, la vitesse à laquelle une personne peut se déplacer va dépendre de la profondeur de boue. Si Modèle:Math désigne l'inverse de la vitesse de marche proche de Modèle:Mvar, alors la Modèle:Mvar-longueur de Modèle:Mvar est le temps nécessaire à traverser Modèle:Mvar. Le concept de Modèle:Lien utilise cette notion de Modèle:Mvar-longueur de courbes et utilisé dans l'étude des applications conformes.

Intégration par parties

Une fonction Modèle:Math est dite "régulière" au point Modèle:Mvar si les limites à gauche et à droite Modèle:Math et Modèle:Math existent, et la fonction prend alors en Modèle:Mvar la valeur moyenne

$f(a)=\frac{f(a-)+f(a+)}{2}.$

Soient deux fonctions Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de variation finie, si en tout point au moins une des deux fonctions entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar est continue ou Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont régulières, alors on peut définir une intégration par parties pour l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}U\mathrm{d}V+\underset{a}{\overset{b}{\int }}V\mathrm{d}U=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }.$

Ici, les mesures de Lebesgue–Stieltjes pertinentes sont associées aux versions continues à droite de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar ; soit en utilisant $\tilde{U}(x)=\underset{t\to x+}{\lim }U(t)$ et, de façon similaire, $\tilde{V}(x).$ L'intervalle borné Modèle:Math peut être remplacé par un intervalle non borné Modèle:Math, Modèle:Math ou Modèle:Math tant que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont de variations finies sur cet intervalle non borné. On peut même étendre aux fonctions à valeurs complexes.

On a également un résultat alternatif d'importance significative en calcul stochastique : pour deux fonctions Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de variations finies, toutes deux continues à droite et ont des limites à gauche (on parle de fonctions càdlàg) alors on a

$U(t)V(t)=U(0)V(0)+\underset{(0,t]}{\int }U(s-)\mathrm{d}V(s)+\underset{(0,t]}{\int }V(s-)\mathrm{d}U(s)+\sum _{u\in (0,t]}\mathrm{\Delta }{U}_u\mathrm{\Delta }{V}_u,$

avec Modèle:Math.

Ce résultat peut être vu comme un précurseur du lemme d'Itô, et trouve son application dans la théorie de l'intégration stochastique. Le terme final vaut Modèle:Math, qui apparait dans la covariation quadratique de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. (Le résultat précédent peut être vu comme une proposition précédant l'intégrale de Stratonovich).

Concepts reliés

Intégration de Lebesgue

Avec Modèle:Math pour tout Modèle:Mvar réel, alors Modèle:Mvar est la mesure de Lebesgue, et l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes de Modèle:Math selon Modèle:Mvar se réduit à l'intégrale de Lebesgue de Modèle:Math.

Intégration de Riemann–Stieltjes et théorie des probabilités

Soit Modèle:Math une fonction réelle à valeurs réelles continue et Modèle:Math une fonction réelle croissante, l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes est équivalente à l'intégrale de Riemann-Stieltjes, où on écrit souvent

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}\mathrm{\Phi }(x)$

pour l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes, avec la mesure Modèle:Math restant implicite. Ce résultat est commun en théorie des probabilités où Modèle:Math est la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle Modèle:Mvar, alors

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}\mathrm{\Phi }(x)=𝔼[f(X)].$

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage.