Théorème d'extension de Carathéodory
Modèle:Ébauche Modèle:Confusion
En théorie de la mesure, le théorème d'extension de Carathéodory est un théorème fondamental, qui est à la base de la construction de la plupart des mesures usuelles. Constitué par généralisation à un cadre abstrait des idées fondant la construction de la mesure de Lebesgue, et exposé sous diverses variantes, il est également mentionné par certains auteurs sous les noms de théorème de Carathéodory-Hahn[1] ou théorème de Hahn-Kolmogorov[2] (certaines sources distinguent un théorème de Carathéodory qui est l'énoncé d'existence, et un théorème de Hahn qui est l'énoncé d'unicité[3]).
Une forme simple du théorème
Le théorème est donné sous de multiples variantes, plus ou moins longues selon qu'on reporte dans l'énoncé une plus ou moins grande partie des informations que la démonstration apporte. Pour référence rapide, voici une forme courte du théorème[4].
Dans cet article, on entend par « mesure » sur une classe d'ensembles contenant le vide une application de cette classe vers , nulle sur le vide et σ-additive[5].
Une version plus élaborée
Il peut être utile d'en savoir davantage que le simple énoncé d'existence de l'extension de Carathéodory et de garder mémoire du procédé de construction de celle-ci, avec quelques informations supplémentaires sur le prolongement[6].
On pourra également retenir les compléments suivants au théorème, qui sont plus techniques :
Il est possible de remplacer « anneau d'ensembles » par « semi-anneau d'ensembles » dans les énoncés qui précèdent. La technique d'extension d'une mesure d'un semi-anneau à l'anneau engendré est beaucoup moins sophistiquée que la construction étudiée ici ; elle ne sera pas évoquée dans cet article, et on renverra le lecteur à l'article « semi-anneau d'ensembles » pour des détails sur cette première phase éventuelle d'extension.
Notes et références
- ↑ Modèle:Ouvrage
- ↑ Modèle:Ouvrage , p. 40
- ↑ Modèle:Ouvrage, p. 175
- ↑ On trouve un énoncé assez simple qui entraîne l'énoncé d'existence donné ici dans Modèle:Ouvrage, p. 26. L'énoncé d'unicité se trouve par exemple dans Modèle:Ouvrage, p. 19
- ↑ On trouvera cette définition exposée de façon moins concise à l'article « mesure », section « Généralisation ».
- ↑ Pour l'ensemble de la section, voir Modèle:Ouvrage, p. 379-387