Formule sommatoire d'Abel

Modèle:Confusion Modèle:Autre En mathématiques, la formule sommatoire d'Abel, nommée d'après son auteur Niels Henrik Abel, est une formule utilisée intensivement en théorie analytique des nombres. Elle sert à calculer des séries numériques.

Énoncé

Soient $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ une suite de nombres réels ou complexes et $\phi$ une fonction réelle ou complexe de [[Classe de régularité|classe Modèle:Math]].

On pose

$A(x)=\sum _{1\le n\le x}{a}_n.$

Alors, pour tout réel Modèle:Math,

$\sum _{1\le n\le x}{a}_n\phi (n)=A(x)\phi (x)-\underset{1}{\overset{x}{\int }}A(u){\phi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u$.

Démonstration

Il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes, mais ce cas particulier peut se démontrer directement.

La fonction Modèle:Math est nulle sur Modèle:Math donc si Modèle:Math, l'équation se résume à 0 = 0.

Supposons désormais Modèle:Math et notons Modèle:Math sa partie entière (donc Modèle:Math). La formule de sommation par parties donne :

$\begin{array}{cc}\sum _{1\le n\le x}{a}_n\phi (n)-A(x)\phi (x)& =A(N)\phi (N)-\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(\phi (n+1)-\phi (n))-A(x)\phi (x)\\ & =-\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(\phi (n+1)-\phi (n)))-A(N)(\phi (x)-\phi (N))\\ & =-\sum _{n=1}^{N-1}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}A(u){\phi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u-\underset{N}{\overset{x}{\int }}A(u){\phi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u\\ & =-\underset{1}{\overset{x}{\int }}A(u){\phi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u.\end{array}$

Exemples

Série des entiers

En utilisant astucieusement la formule, on peut calculer des sommes et retrouver des résultats usuels. Par exemple, pour $a_n=1$ et $\phi (u)=u$, en prenant Modèle:Math entier, on trouve (pour tout réel Modèle:Math, ou même Modèle:Math > 0) : $$\begin{array}{cc}\sum _{1\le n\le N}n=\lfloor N\rfloor N-\underset{1}{\overset{N}{\int }}\lfloor u\rfloor \mathrm{d}u& =N^2-\underset{1}{\overset{N}{\int }}\lfloor u\rfloor \mathrm{d}u=N^2-(N-1)\times \frac{1}{2}=\frac{N(N+1)}{2}\\ & =N^2-\underset{1}{\overset{N}{\int }}(u-\{u\})\mathrm{d}u=N^2-\underset{1}{\overset{N}{\int }}u\mathrm{d}u+\underset{1}{\overset{N}{\int }}\{u\}\mathrm{d}u\\ & =N^2-\frac{N^2-1}{2}+(N-1)\times \frac{1}{2}\\ & =\frac{N(N+1)}{2}.\end{array}$$

On reconnait ici la formule des nombres triangulaires.

Constante d'Euler-Mascheroni

Pour $a_n=1$ et $\phi (u)=1/u$, en notant $\lfloor x\rfloor$ la partie entière de Modèle:Math, on trouve (pour tout réel Modèle:Math ≥ 1, ou même Modèle:Math > 0) :

$\sum _{1\le n\le x}\frac{1}{n}=\frac{\lfloor x\rfloor }{x}+\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^2}\mathrm{d}u$

dont on déduit une expression intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni :

$\gamma =1-\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x-\lfloor x\rfloor }{x^2}\mathrm{d}x$.

Séries de Dirichlet

Pour toute série de Dirichlet classique

$f(s)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$,

la formule sommatoire d'Abel, appliquée à $\phi (u)=u^{-s}$, montre que pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 0 et à l'abscisse de convergence de la série :

$f(s)=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{A(u)}{u^{1+s}}\mathrm{d}u$.

Ci-dessous, deux exemples. On en trouvera un autre dans l'article « Fonction de von Mangoldt ».

Fonction zêta de Riemann

Pour $a_n=1$ on obtient :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}\mathrm{d}u=\frac{s}{s-1}-s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\{u\}}{u^{1+s}}\mathrm{d}u$.

Cette formule est valable pour [[Partie réelle|Modèle:Math(s)]] > 1. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction zêta de Riemann Modèle:Math(s) admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1.

Inverse de la fonction zêta de Riemann

Pour $a_n=\mu (n)$ (la fonction de Möbius) :

$\sum _1^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{M(u)}{u^{1+s}}\mathrm{d}u$.

Cette formule est valable pour Modèle:Math(s) > 1. Le symbole Modèle:Math désigne la fonction de Mertens, définie par

$M(u)=\sum _{1\le n\le u}\mu (n)$.