Espace vectoriel ordonné

En mathématiques, un espace vectoriel ordonné (ou espace vectoriel partiellement ordonné) est un espace vectoriel sur $ℝ$ muni d'une relation d'ordre compatible avec sa structure. Il est dit totalement ordonné si l'ordre associé est un ordre total.

Définition

Soit Modèle:Mvar un espace vectoriel sur le corps des réels $ℝ$ et $\le$ un préordre sur $E$. La paire $(E,\le )$ est appelée espace vectoriel préordonné, on dit que $\le$ est compatible avec la structure d'espace vectoriel sur Modèle:Mvar et on appelle $\le$ un préordre vectoriel si pour tout Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar et $\lambda$ dans ${ℝ}_{+}$, les deux propriétés suivantes sont vérifiées :

1. $x\le y⟹x+z\le y+z$,
2. $x\le y⟹\lambda x\le \lambda y$.

Si $\le$ est une relation d'ordre compatible avec la structure d'espace vectoriel sur Modèle:Mvar, la paire $(E,\le )$ est appelée espace vectoriel ordonné et $\le$ est appelé ordre vectoriel sur Modèle:Mvar. Les deux axiomes entraînent que les translations et les homothéties de rapport positif sont des automorphismes de Modèle:Mvar pour la structure d'ensemble ordonné, et que la fonction $x\mapsto -x$ est un isomorphisme dans Modèle:Mvar muni de l'ordre dual. Les espaces vectoriels ordonnés sont des groupes ordonnés pour l'addition. Notons que pour tout Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, $x\le y⟺-y\le -x$.

Cône positif

Si Modèle:Mvar un espace vectoriel préordonné, l'ensemble $E^{+}=\{x\in E\mid 0\le x\}$ est un cône convexe pointé appelé cône positif de Modèle:Mvar et dont les éléments sont dits positifs. Pour tout Modèle:Mvar et Modèle:Mvar on a $x\le y⟺y-x\in E^{+}$. De plus, le cône positif de Modèle:Mvar est saillant si et seulement si $\le$ est une relation d'ordre, et c'est un cône saillant maximal pour l'inclusion si et seulement si $\le$ est une relation d'ordre totale.

Réciproquement, si Modèle:Mvar est un cône convexe pointé d'un espace vectoriel Modèle:Mvar, la relation d'ordre définie par $x\le y⟺y-x\in C$ est préordre sur Modèle:Mvar compatible avec sa structure d'espace vectoriel, dont Modèle:Mvar est le cône positif.

Étant un espace vectoriel Modèle:Mvar, on peut donc définir une bijection entre les cônes convexes pointés (resp. cônes convexes pointés saillants, cônes convexes pointés saillants maximaux pour l'inclusion) et les relations de préordre vectoriel (respectivement ordre vectoriel, ordre vectoriel total) sur Modèle:Mvar.

Un ordre vectoriel total ne peut pas être archimédien si la dimension de l'espace vectoriel sous-jacent est strictement plus grande que 1.

Si $\le$ et $\preccurlyeq$ sont des ordres vectoriels sur un même espace, de cônes positifs respectifs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, on dit que $\le$ est plus fin que $\preccurlyeq$ si $P\subseteq Q$.

De plus, si Modèle:Mvar est un cône convexe pointé d'un espace vectoriel Modèle:Mvar, $C\cap (-C)$ est un sous-espace vectoriel Modèle:Mvar de Modèle:Mvar tel que $\hat{C}$, image canonique de Modèle:Mvar dans l'espace vectoriel quotient $E/H$, soit un cône convexe pointé saillant, qui définit donc un ordre compatible avec la structure d'espace vectoriel sur $E/H$.

Espace d'applications linéaires

Soit Modèle:Mvar et Modèle:Mvar des espaces vectoriels ordonnés non triviaux, de cônes positifs respectifs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. Alors Modèle:Mvar est générateur de Modèle:Mvar si et seulement si l'ensemble $C=\{u\in ℒ(E,F)\mid u(P)\subseteq Q\}$ est un cône saillant de l'ensemble $ℒ(E,F)$ des applications linéaires de Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar. On nomme alors l'ordre induit par Modèle:Mvar l'ordre canonique sur $ℒ(E,F)$. Plus généralement si Modèle:Mvar est un sous-espace vectoriel de $ℒ(E,F)$ tel que $C\cap M$ soit un cône saillant, l'ordre induit sur Modèle:Mvar par $C\cap M$ est appelé ordre canonique sur Modèle:Mvar.

Fonction positive et ordre dual

Une application linéaire Modèle:Mvar entre deux espaces vectoriels préordonnés est dite positive si elle vérifie l'une quelconque des deux propriétés équivalentes suivantes :

1. $x\ge 0⟹f(x)\ge 0$
2. Modèle:Mvar est croissante : $x\le y⟹f(x)\le f(y)$

L'ensemble des formes linéaires positives sur un espace vectoriel préordonné de même cône positif Modèle:Mvar forme un cône appelé cône dual et noté $C^{*}$, qui est égal au polaire de $-C$. Le préordre induit par $C^{*}$ sur Modèle:Mvar est appelé préordre dual.

Sous-espaces, quotients, produits

Soit Modèle:Mvar un espace vectoriel préordonné de cône positif Modèle:Mvar.

Sous-espaces

Si Modèle:Mvar est un sous-espace vectoriel de Modèle:Mvar, l'ordre canoniquement induit par Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar est l'ordre induit par le cône convexe pointé $C\cap V$, qui est saillant si Modèle:Mvar est saillant.

Espace quotient

Soit Modèle:Mvar un sous-espace vectoriel de Modèle:Mvar, $\pi :E\to E/V$ la projection canonique, et soit $\hat{C}:=\pi (C)$. Alors $\hat{C}$ est un cône de $E/V$ qui induit un préordre canonique sur l'espace quotient $E/V$.

Produit

Si Modèle:Mvar est un ensemble quelconque, l'espace $E^X$ des fonctions de Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar est canoniquement ordonné par l'ordre induit par le cône convexe pointé$\{f\in E^X\mid \mathrm{\forall }x\in X,f(x)\in C\}$, qui est saillant si et seulement si Modèle:Mvar l'est.

Soit $(X_i{)}_{i\in I}$ est une famille d'espaces vectoriels préordonnés, indexée Modèle:Mvar, avec $C_i$ le cône positif de $X_i$. Alors $C:=\prod _{i\in I}{C}_i$ est un cône convexe pointé de $X:=\prod _{i\in I}{X}_i$, qui est saillant si tous les $C_i$ sont saillants.

Somme directe

Si $(X_i{)}_{i\in I}$ est une famille d'espaces vectoriels préordonnés, la somme directe (externe) $\underset{i\in I}{⨁}{X}_i$ est un sous-espace vectoriel de $\prod _{i\in I}{X}_i$, préordonné pour l'ordre induit.

Exemples

• Les nombres réels munis de l'ordre usuel forment un espace vectoriel totalement ordonné.
• Pour tout entier naturel Modèle:Mvar, l'espace vectoriel ${ℝ}^n$ muni de l'ordre lexicographique est un espace vectoriel préordonné, qui est archimédien si et seulement si $n\in \{0,1\}$.
• Si Modèle:Mvar est un ensemble quelconque et $E={ℝ}^X$ le [[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|$ℝ$-espace vectoriel des fonctions de Modèle:Mvar dans $ℝ$]], on peut définir la relation d'ordre induite par $ℝ$ sur $E$ par $f\le g⟺\mathrm{\forall }x\in X,f(x)\le g(x)$. Voici quelques sous-espaces vectoriels couramment munis de cet ordre :
  • le sous-espace ${\ell }^{\mathrm{\infty }}(X,ℝ)$ des fonctions bornées de Modèle:Mvar dans $ℝ$ ;
  • le sous-espace des suites qui convergent vers Modèle:Formule (si $X=\mathbb{N}$) ;
  • le sous-espace $𝒞(X,ℝ)$ des fonctions continues de Modèle:Mvar dans $ℝ$ (si Modèle:Mvar est un espace topologique) ;
  • pour tout entier naturel Modèle:Mvar, l'espace ${ℝ}^n$ (assimilé à ${ℝ}^{\{1,\dots ,n\}}$).
• L'espace ${\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}(ℝ,ℝ)$ des fonctions réelles d'une variable réelle, mesurables et bornées, modulo égalité presque partout, où la relation d'ordre est cette fois donnée par $f\le g⟺f(x)\le g(x)$ presque partout.

Voir aussi

Articles connexes

• Un Modèle:Lien est un espace vectoriel ordonné dont l'ordre est un treillis.
• Un groupe ordonné est un groupe dont la relation d'ordre associée est compatible avec la loi du groupe.
• Un corps ordonné est un corps dont la relation d'ordre associée est compatible avec les lois du corps.
• Une topologie de l'ordre est définie sur tout ensemble ordonné.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage