Cône (analyse convexe)

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, un cône d'un espace vectoriel réel est une réunion de demi-droites (ouvertes ou fermées) issues de l'origine, et un cône pointé est un cône qui contient l'origine. Cette définition du cône généralise la notion géométrique de cône de l'espace euclidien de dimension 3.

On peut citer comme exemples tous les cônes convexes. Les cônes apparaissent également dans diverses constructions : cône tangent à un ensemble, cône asymptotique d'un ensemble, enveloppe coniqueModèle:Etc.

Dans tout cet article, $E$ désigne un $ℝ$-espace vectoriel, que l'on supposera topologique chaque fois que nécessaire.

Définitions

Cône

D'après la définition donnée en introduction, on a la caractérisation suivante : Modèle:Théorème

Exemples de cônes :

• tous les cônes convexes ;
• toute union d'une famille de cônes ;
• la somme de deux cônes ;
• tout complémentaire d'un cône ;
• toute intersection d'une famille non vide de cônes.

Différents types de cônes

On dit qu'un cône $K$ est :

• saillant s'il ne contient pas de droite vectorielle, autrement dit si $K\cap (-K)\subset \{0\}$ ;
• pointé si $0\in K$ (et épointé dans le cas contraire). Tout cône fermé non vide est pointé.

Un cône $K$ est convexe si et seulement si $K+K\subset K$. Tout cône convexe épointé est saillant.

Un cône $K$ est polyédrique (c'est-à-dire intersection d'un nombre fini de demi-espaces fermés et a fortiori convexe et fermé) si et seulement si $K$ est l'image réciproque de ${ℝ}_{+}^m$ par une application linéaire $A:E\to {ℝ}^m$, pour un entier $m⩾1$.

Un cône convexe non vide Modèle:Mvar est générateur si $K-K=E$.

Rayon extrême

Un rayon est une demi-droite fermée d'origine $0$. Il s'agit donc d'un cône polyédrique de dimension 1. On dit qu'un vecteur $x\ne 0$ Modèle:Refnec le rayon ${ℝ}_{+}x$.

On dit qu'un rayon est un rayon extrême d'un cône $K$ s'il est généré par un vecteur $x\ne 0$ et si la propriété suivante a lieu

$x=x_1+x_2,x_1\in K,x_2\in K⟹x_1\text{et}{x}_2\in {ℝ}_{+}x.$

Cette propriété rappelle celle d'une arête (ou face de dimension 1) d'un convexe. Cependant, si le cône n'est pas convexe, la notion d'arête n'est pas définie, alors que la notion de rayon extrême ne demande pas cette convexité. Par ailleurs, si le cône convexe n'est pas saillant, une arête peut être une droite vectorielle et donc ne pas vérifier la propriété ci-dessus ; par exemple, $ℝe^1$ est une arête du cône $\{x\in {ℝ}^2\mid x_2⩾0\}$, qui n'est pas saillant, mais n'est pas un rayon extrême de ce cône. En réalité, on a la propriété suivante.

Enveloppe conique

L'enveloppe conique d'un cercle passant par $0$ est l'union d'un demi-plan ouvert et du singleton $\{0\}$.

Un ensemble non vide $K\subset E$ est un cône convexe pointé si et seulement si ${ℝ}_{+}K\subset K$ et $K+K\subset K$, ce que l'on peut reformuler ainsi : Modèle:Théorème

L'intersection d'une famille non vide $(K_i{)}_{i\in I}$ de cônes convexes étant un cône convexe — pointé si les $K_i$ le sont —, on peut définir ce que l'on appelle l'enveloppe conique d'une partie (comme raccourci de « enveloppe conique convexe pointée ») :

Modèle:Théorème Si Modèle:Mvar est convexe et non vide, son enveloppe conique est donc simplementModèle:Refconf : $\bigcup _{\lambda \ge 0}\lambda P$.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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Articles connexes

• Algèbre de Boole
• Revêtement de l'espace projectif