Théorème de Poincaré-Bertrand

Le théorème de Poincaré-Bertrand concerne le réarrangement des termes pour le calcul de certaines intégrales impropres. Il a été établi par Henri Poincaré et Gaston BertrandModèle:,, ainsi que par Godfrey Harold Hardy.

Énoncé

Soit Modèle:Math une courbe fermée ou ouverte dans le plan complexe, soit Modèle:Math une fonction définie sur Modèle:Math (généralement de valeur complexe) et continue au sens de Hölder par rapport à Modèle:Math et Modèle:Math, et soit Modèle:Mvar un point sur Modèle:Math sauf une extrémité si Modèle:Math est ouvert, alors

$\text{v.p.}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{\mathrm{d}\tau }{\tau -t}\times \text{v.p.}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(\tau ,{\tau }^{\prime })}{{\tau }^{\prime }-\tau }\mathrm{d}{\tau }^{\prime }=-{\pi }^{2}f(t,t)+\text{v.p.}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\mathrm{d}{\tau }^{\prime }\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(\tau ,{\tau }^{\prime })}{(\tau -t)({\tau }^{\prime }-\tau )}\mathrm{d}\tau$

où Modèle:Math est la valeur principale de Cauchy

Dans le cas particulier d'une fonction Modèle:Math dépendant d'une seule variable et définie sur une courbe fermée alors

$\text{v.p.}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{\mathrm{d}\tau }{\tau -t}\text{v.p.}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f({\tau }^{\prime })}{{\tau }^{\prime }-\tau }\mathrm{d}{\tau }^{\prime }=-{\pi }^{2}f(t)$

Cette expression est valide pour tout t si f est continue au sens de Hölder ou presque tout t si Modèle:Formule