Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux [[espace Lp|espaces de fonctions Modèle:Formule]], comme les [[Espace de suites ℓp|espaces de suites Modèle:Formule]]. C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes.

Énoncé

Plus généralement, pour

$0<p,q\le +\mathrm{\infty }$

et

$r$

défini par

$\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$,

si

$f\in L^p(S)$

et

$g\in L^q(S)$

alors

$fg\in L^r$

et

$\Vert fg{\Vert }_r\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$

.

De plus, lorsque $p$ et $q$ sont finis, il y a égalité si et seulement si $|f{|}^p$ et $|g{|}^q$ sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe $\alpha$ et $\beta$ non simultanément nuls tels que $\alpha |f{|}^p=\beta |g{|}^q$ p.p.

Démonstration

Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young.

Exemples

Inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où Modèle:Math dans l'inégalité de Hölder.

Dimension finie

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour Modèle:Formule avec Modèle:Formule = 1 et pour tous vecteurs Modèle:Formule et Modèle:Formule de ℝModèle:Exp (ou de ℂModèle:Exp), l'inégalité

$\sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q)}^{1/q}.$

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|norme Modèle:Formule]] : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si Modèle:Formule et Modèle:Formule sont respectivement dans les espaces de suites Modèle:Formule et Modèle:Formule, alors la suite « produit terme à terme » Modèle:Formule est dans Modèle:Formule.

Cas extrémal

Modèle:Démonstration/début D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par Modèle:Formule.

Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme Modèle:Formule de Modèle:Formule, que l'on peut supposer non nulle. Par homogénéité, supposons même que

$\Vert f{\Vert }_p=1.$

• Si Modèle:Formule, la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction Modèle:Formule définie sur S parModèle:Retraitappartient à Modèle:Formule où sa norme vaut 1 et l'on aModèle:Retrait
• Si Modèle:Formule, soient ε ∈]0, 1[et A = [|Modèle:Formule| > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque Modèle:Formule = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un B ∈ Σ, contenu dans A et de mesure finie non nulle. La fonction Modèle:Formule définie sur S parModèle:Retraitappartient alors à Modèle:Formule où sa norme vaut 1 et l'on aModèle:RetraitLa borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à 1 – ε pour tout ε ∈]0, 1[, ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à Modèle:Formule.

Remarques sur le cas Modèle:Formule

• Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si Modèle:Formule est la suite de Modèle:Formule définie par Modèle:Formule alors, pour toute suite non nulle Modèle:Formule de norme inférieure ou égale à 1 dans Modèle:Formule, $|\sum x_k{y}_k|\le \sum (1-2^{-k})|y_k|<\sum |y_k|\le 1=\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$
• Si A ∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun B ∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul B ∈ Σ qui soit strictement inclus dans A est ∅) et si Modèle:Formule est la fonction indicatrice de A, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que Modèle:Formule = 1.

Applications

• L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces Modèle:Formule associés à une mesure finie de masse totale Modèle:Formule :$0<r\le q\le +\mathrm{\infty }\Rightarrow {\mathrm{L}}^r\supset {\mathrm{L}}^q\text{ et }\mathrm{\forall }g\in {\mathrm{L}}^q,\Vert g{\Vert }_r\le M^{\frac{1}{r}-\frac{1}{q}}\Vert g{\Vert }_q.$(Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.)
• Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de Modèle:Formule si Modèle:Formule ≥ 1.
• Le cas extrémal permet d’établir que le [[Espace Lp#Dualité|dual topologique de Modèle:Formule]] est Modèle:Formule (avec Modèle:Formule) si Modèle:Formule, et aussi si Modèle:Formule = 1 quand la mesure est σ-finie.

Généralisation

L’inégalité de Hölder avec Modèle:Formule se généralise immédiatement à Modèle:Formule fonctions, par récurrence :

Bibliographie

• Modèle:Brezis
• Modèle:Rudin