Mesure finie

Sur un espace mesurable $(X,𝒜)$, une mesure finie (ou mesure bornée) est une mesure positive μ pour laquelle μ(X) est fini, ou plus généralement une mesure signée, voire une mesure complexe dont la masse $|\mu |(X)$ (valeur sur X de la variation totale |μ| de μ) est finie.

Fonctions intégrables

Toute fonction complexe f mesurable et bornée est intégrable contre toute mesure finie $\mu$ ; et on dispose de la majoration :

$|\underset{X}{\int }f.d\mu |\le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}.|\mu |(X)$

Exemples de mesures finies

• La mesure de comptage sur un ensemble X est finie ssi X est un ensemble fini.
• Les masses de Dirac sont des mesures finies, quel que soit l'espace mesurable considéré.
• Plus généralement, les mesures de probabilité sont des exemples de mesures finies : ce sont des mesures positives de masse 1.
• La mesure de Lebesgue sur un domaine borné de ℝModèle:Exp.
• Pour une mesure complexe Modèle:Math pas nécessairement finie et pour une fonction Modèle:Math-intégrable Modèle:Math, la variation totale de [[Mesure à densité|la mesure Modèle:Math]] est exactement Modèle:Math ; de fait, la mesure Modèle:Math est finie.

Suite décroissante des espaces Modèle:Math

D'après l'inégalité de Hölder ou celle de Jensen, les [[Espace Lp|espaces Modèle:Math]] d'une mesure finie forment une famille décroissante pour l'inclusion, avec des injections continues. Plus précisément :

$\text{si }\mu (X)<+\mathrm{\infty }\text{ alors }0<p\le q\le +\mathrm{\infty }\Rightarrow {\mathrm{L}}^p(\mu )\supset {\mathrm{L}}^q(\mu )\text{ car }\mathrm{\forall }f\in {\mathrm{L}}^q(\mu ),\Vert f{\Vert }_p\le \mu (X{)}^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\Vert f{\Vert }_q.$

Une réciproque très forte est vraie : si Modèle:Math est σ-finie et s'il existe Modèle:Math et Modèle:Math, avec Modèle:Math, tels que Modèle:Math, alors Modèle:Math est finie.

Espace des mesures finies

Toute somme de mesures finies (signées ou complexes) est une mesure finie. Toute mesure proportionnelle à une mesure finie est une mesure finie.

L'espace $ℳ(X,𝒜)$ des mesures finies (signées ou complexes) forme un espace de Banach (réel ou complexe) pour la norme :

$\Vert \mu \Vert =|\mu |(X).$

Pour toute mesure Modèle:Math sur $(X,𝒜)$ (finie ou pas), l'application Modèle:Math induit une isométrie de [[Espace L1|Modèle:Math]] sur un sous-espace vectoriel fermé de $ℳ(X,𝒜)$.

Lorsque Modèle:Math est σ-finie, ce sous-espace auquel Modèle:Math s'identifie est égal (d'après le théorème de Radon-Nikodym) à l'ensemble de toutes les mesures finies absolument continues par rapport à Modèle:Math. Il est inclus dans le dual topologique de Modèle:Math :

${\mathrm{L}}^1(\nu )\subset \mathrm{(}{L}^{\mathrm{\infty }}(\nu ){)}^{\prime }.$

Cette inclusion est stricte (sauf dans les cas triviaux) car Modèle:Math est constitué des « mesures » (finies et absolument continues par rapport à Modèle:Math) qui sont seulement finiment additives.