Mesure sigma-finie

Modèle:Ébauche Soit Modèle:Math un espace mesuré. On dit que la mesure Modèle:Math est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de Modèle:Math par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite Modèle:Math)Modèle:Ind d'éléments de la tribu Modèle:Math, tous de mesure finie, avec

$X=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{E}_n.$

Exemples

• Mesure finie
• Mesure de comptage sur un ensemble dénombrable
• Mesure de Lebesgue. En effet, l'ensemble des intervalles $[k,k+1)$ pour tous les nombres entiers $k\in \mathbb{Z}$ est un recouvrement dénombrable de $ℝ$, et chacun des intervalles est de mesure 1.

• Plus généralement, mesure de Haar sur un groupe localement compact σ-compact

Propriétés

• En remplaçant EModèle:Ind par FModèle:Ind = EModèle:Ind ∪ … ∪ EModèle:Ind, on obtient une suite vérifiant les mêmes propriétés et qui de plus est croissante pour l'inclusion, donc Modèle:Math.
• En remplaçant FModèle:Ind par GModèle:Ind = FModèle:Ind\FModèle:Ind, on obtient une suite vérifiant les mêmes hypothèses que Modèle:Math)Modèle:Ind et qui de plus est constituée de parties disjointes deux à deux, donc Modèle:Math.
• Si Y est un élément de Σ, la restriction de Modèle:Math à Y est encore σ-finie.

Usages

• Théorème d'extension de Carathéodory
• Unicité d'une mesure produit
• Théorème de Fubini
• Théorème d'Egoroff
• Cas extrémal de l'inégalité de Hölder
• Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue
• Lien entre mesure complétée et mesure extérieure