Mesure produit

En mathématiques et plus précisément en théorie de la mesure, étant donnés deux espaces mesurés $({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒮}_1,{\mu }_1)$ et $({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒮}_2,{\mu }_2),$ on définit une mesure produit μ₁×μ₂ sur l'espace mesurable $({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,{𝒮}_1\times {𝒮}_2)$.

La tribu produit ${𝒮}_1\times {𝒮}_2$ est la tribu sur le produit cartésien ${\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2$ engendrée par les parties de la forme $A_1\times A_2$, où $A_1$ appartient à ${𝒮}_1$ et $A_2$ à ${𝒮}_2$ :

${𝒮}_1\times {𝒮}_2=\sigma \left(\{A_1\times A_2|A_1\in {𝒮}_1,A_2\in {𝒮}_2\}\right).$

Une mesure produit μ₁×μ₂ est une mesure sur $({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,{𝒮}_1\times {𝒮}_2)$ telle que :

$\mathrm{\forall }{A}_1\in {𝒮}_1,\mathrm{\forall }{A}_2\in {𝒮}_2({\mu }_1\times {\mu }_2)(A_1\times A_2)={\mu }_1(A_1){\mu }_2(A_2).$

D'après le théorème d'extension de Carathéodory, une telle mesure μ₁×μ₂ existe, et si μ₁ et μ₂ sont σ-finies alors elle est unique.

En fait, lorsque μ₁ et μ₂ sont σ-finies, pour chaque ensemble mesurable E,

$({\mu }_1\times {\mu }_2)(E)=\underset{{\mathrm{\Omega }}_2}{\int }{\mu }_1(E^y)\mathrm{d}{\mu }_2(y)=\underset{{\mathrm{\Omega }}_1}{\int }{\mu }_2(E_x)\mathrm{d}{\mu }_1(x),$

avec E_x = {y∈Ω₂|(x,y)∊E} et E^y = {x∈Ω₁|(x,y)∊E}, qui sont tous deux des ensembles mesurables.

La mesure de Borel-Lebesgue sur l'espace euclidien ℝⁿ peut être obtenue comme le produit de n copies de celle sur la droite réelle ℝ.

Même lorsque μ₁ et μ₂ sont complètes, μ₁×μ₂ ne l'est pas nécessairement. Par exemple, pour obtenir la mesure de Lebesgue sur ℝModèle:2, il faut compléter le produit des deux copies de la mesure de Lebesgue sur ℝ.

Références

• Modèle:Ouvrage
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Articles connexes

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• Théorème de Fubini