Tribu produit

Définition

Étant donnés deux espaces mesurables $({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒯}_1)$ et $({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒯}_2)$, la tribu produit, notée ${𝒯}_1\otimes {𝒯}_2$, permet de donner une structure d'espace mesurable à l'ensemble produit ${\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2$ ; elle est définie de la façon suivante :

• ${𝒯}_1\otimes {𝒯}_2$ est la tribu engendrée par les pavés mesurables $R=R_1\times R_2$ où $R_1\in {𝒯}_1,R_2\in {𝒯}_2$ ou, de manière équivalente, la plus petite tribu contenant les pavés mesurables ;
• on peut la définir aussi comme la plus petite tribu rendant mesurables les projections $p{r}_1$ et $p{r}_2$ définies par : $p{r}_i({\omega }_1,{\omega }_2)={\omega }_i,i=1,2$.

Le lemme de transport permet de montrer qu'une application $f$, définie sur un espace mesurable $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ à valeurs dans l'espace produit $(E_1\times E_2,{𝒯}_1\otimes {𝒯}_2)$, est mesurable pour la tribu produit si et seulement si les applications coordonnées $f_i$ sont, chacune, mesurables pour les tribus ${𝒯}_i$.

Le lemme de transport permet de montrer que les applications y↦(x,y) (pour x fixé) et x↦(x,y) (pour y fixé) sont aussi mesurables.

Exemple : tribu borélienne produit

Étant donnés deux espaces topologiques $({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒪}_1)$ et $({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒪}_2)$ munies de leurs tribus boréliennes respectives ${ℬ}_1$ et ${ℬ}_2$. Il y a alors deux façons naturelles de donner au produit ${\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2$ une structure d'espace mesurable :

1. à partir de la tribu produit ${ℬ}_1\otimes {ℬ}_2$
2. à partir de la tribu borélienne engendrée par la topologie produit ${𝒪}_1\times {𝒪}_2$, notée $ℬ({𝒪}_1\times {𝒪}_2)$.

• On a toujours : ${ℬ}_1\otimes {ℬ}_2\subset ℬ({𝒪}_1\times {𝒪}_2)$.

En effet, les projections $p{r}_i$ sont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu borélienne ; la tribu produit étant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l'inclusion désirée.

• Si les espaces topologiques $({\mathrm{\Omega }}_i,{𝒪}_i)$ sont à base dénombrable alors ${ℬ}_1\otimes {ℬ}_2=ℬ({𝒪}_1\times {𝒪}_2)$.

En effet, soit $U$ un ouvert de ${𝒪}_1\times {𝒪}_2$, alors $U$ est une union dénombrable de pavés mesurables de la forme $U_1\times U_2$ (car ils forment une base dénombrable de la topologie produit) : par conséquent $U\in {ℬ}_1\otimes {ℬ}_2,$ d'où $ℬ({𝒪}_1\times {𝒪}_2)\subset {ℬ}_1\otimes {ℬ}_2$.

Un contre-exemple possible est ${\mathrm{\Omega }}_1={\mathrm{\Omega }}_2=ℬ(ℝ,ℝ)$ l'ensemble des fonctions réelles bornées.

Produit de n tribus

Le produit d'un nombre fini, disons $n$, de tribus se définit de façon similaire : il s'agit de la plus petite tribu contenant les pavés mesurables $R_1\times \dots \times R_n$. Les propriétés énoncées pour le produit de deux tribus s'étendent sans difficulté au cas de $n$ tribus.

Produit dénombrable de tribus

Si on considère maintenant un produit dénombrable d'espaces mesurés $({\mathrm{\Omega }}_n,{𝒯}_n)$, la tribu produit ${\otimes }_{n\in \mathbb{N}}{𝒯}_n$, définie sur l'ensemble produit $\prod _{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{\Omega }}_n$, est la tribu engendrée par les ensembles de la forme $\prod _{n\in \mathbb{N}}{R}_n$ où $R_n\in {𝒯}_n$ et où $R_n={\mathrm{\Omega }}_n$ sauf pour un nombre fini d'indices $n$.

Voir aussi

Mesure produit