Lemme de transport

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie de la mesure, le lemme de transport est utilisé pour montrer que certaines applications sont mesurables.

Si $A$ est un ensemble et $𝒞\subset 𝒫\left(A\right)$ est un ensemble de parties de $A$, on notera $\sigma \left(𝒞\right)$ la tribu engendrée par $𝒞$.

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux ensembles, $f:X\to Y$ une application et $ℰ\subset 𝒫\left(Y\right)$ un ensemble de parties de $Y$, on a alorsModèle:, $f^{-1}\left(\sigma \left(ℰ\right)\right)=\sigma \left(f^{-1}\left(ℰ\right)\right)$.

Exemple d'application

Une application classique du lemme de transport est de montrer qu'une application continue est borélienne.

En effet si $(X,𝒪)$ et $(Y,𝒰)$ sont des espaces topologiques, $f:(X,\sigma (𝒪))\to (Y,\sigma (𝒰))$ est borélienne si et seulement si $f^{-1}(\sigma (𝒰))\subset \sigma \left(𝒪\right)$ ; or d'après le lemme de transport $f^{-1}\left(\sigma \left(𝒰\right)\right)=\sigma \left(f^{-1}\left(𝒰\right)\right)$. Si on suppose que $f$ est continue alors $f^{-1}\left(𝒰\right)\subset 𝒪$, et on a bien $\sigma (f^{-1}\left(𝒰\right))\subset \sigma (𝒪)$ donc $f^{-1}(\sigma (𝒰))\subset \sigma \left(𝒪\right)$.

Cas général

Plus généralement le lemme de transport dit que si $(X,𝒜)$ et $(Y,ℬ)$ sont des espaces mesurables et si $𝒞\subset 𝒫(Y)$ tel que $\sigma (𝒞)=ℬ$ alors $f:(X,𝒜)\to (Y,ℬ)$ est mesurable si et seulement si $f^{-1}(𝒞)\subset 𝒜$ ce qui n'est pas anodin et peut simplifier considérablement la caractérisation des applications $(𝒜,ℬ)$-mesurables.