Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Modèle:Homon Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un théorème d'analyse, une branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un résultat de théorie de la mesure, cependant une démonstration faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du Modèle:S-. Il s'énonce de la façon suivante :

Propriétés de la dérivée de Radon-Nikodym

La dérivée de Radon-Nikodym a les propriétés suivantes :

• Soient ν, μ et λ des mesures σ-finies sur le même espace mesurable. Si ν ≪ λ et μ ≪ λ (ν et μ sont toutes deux absolument continues par rapport à λ), alors

$$\frac{d(\nu +\mu )}{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\lambda }+\frac{d\mu }{d\lambda }\lambda \text{-presque partout}.$$

• Si ν ≪ μ ≪ λ, alors

$$\frac{d\nu }{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\mu }\frac{d\mu }{d\lambda }\lambda \text{-presque partout}.$$

• En particulier, si μ ≪ ν et ν ≪ μ, alors

$$\frac{d\mu }{d\nu }={\left(\frac{d\nu }{d\mu }\right)}^{-1}\nu \text{-presque partout}.$$

• Si μ ≪ λ et Modèle:Mvar est une fonction μ-intégrable, alors

$$\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{X}{\int }g\frac{d\mu }{d\lambda }d\lambda .$$

Densité d'une mesure

En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration

L'hypothèse de σ-finitude est importante : par rapport à la mesure de comptage, une mesure est toujours absolument continue mais celle de Lebesgue sur ℝ (par exemple) n'a pas de densité.

Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

Modèle:Théorème Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions :

• Une variable aléatoire Modèle:Math à valeur dans ℝModèle:Exp possède une densité de probabilité.
• La mesure ${\mathbb{P}}_Z$ possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝModèle:Exp.
• La mesure ${\mathbb{P}}_Z$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝModèle:Exp.

Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste.

Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que Modèle:Math possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire Modèle:Math possède une densité, alors :

• $\mathbb{P}(X=Y)=0,$
• $\mathbb{P}(X^2+Y^2=1)=0,$

car la mesure de Lebesgue (autrement dit, l'aire) de la première bissectrice (resp. du cercle unité) est nulle.

Plus généralement, la mesure de Lebesgue du graphe d'une fonction mesurable φ étant nulle, il suit que :

• $\mathbb{P}(Y=\phi (X))=0.$

De même, il y a de nombreux exemples où, du fait que l'ensemble $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid \psi (x,y)=0\}$ est de mesure de Lebesgue nulle, on peut conclure que :

• $\mathbb{P}(\psi (X,Y)=0)=0.$

Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité, par exemple si :

$Z=(\cos \mathrm{\Theta },\sin \mathrm{\Theta }),$

où Modèle:Math désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur Modèle:Math, alors Modèle:Math ne possède pas de densité car :

$\mathbb{P}(X^2+Y^2-1=0)=1.$

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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• Modèle:Article (cf. p. 127-130)
• Modèle:Article
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