Mesure signée

Modèle:Ébauche En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, une mesure signée est une extension de la notion de mesure dans le sens où les valeurs négatives sont autorisées, ce qui n'est pas le cas d'une mesure classique qui est, par définition, à valeurs positives.

Définition

Une mesure signée est dite finie si elle ne prend que des valeurs réelles, c'est-à-dire, si elle ne prend jamais les valeurs $-\mathrm{\infty }$ ou $+\mathrm{\infty }$.

Pour clarifier, on utilisera le terme de « mesure positive », au lieu du simple « mesure », pour les mesures signées ne prenant jamais de valeurs strictement négatives.

Propriétés

Dans toute cette section $\sigma$ est une mesure signée sur l'espace mesurable $(X,𝒜)$.

Si une mesure signée prend la valeur $-\mathrm{\infty }$ alors elle ne prend jamais la valeur $+\mathrm{\infty }$ et inversement. Plus précisémentModèle:ThéorèmeSi un ensemble mesurable A est de mesure finie, alors tous ses sous ensembles mesurables sont encore de mesure finie. En sommeModèle:ThéorèmeUne mesure signée est finie si et seulement si elle est bornée. Autrement ditModèle:ThéorèmeOn a les relations suivantesModèle:ThéorèmeLe résultat suivant s'apparente à une propriété de continuité d'une mesure signéeModèle:Théorème

Exemples

• Si ${\nu }_1,{\nu }_2$ sont deux mesures positives sur l'espace mesurable $(X,𝒜)$ et si l'une d'elles est finie, alors leur différence $\sigma ={\nu }_1-{\nu }_2$ est une mesure signée sur $(X,𝒜)$.
• Soit $(X,𝒜,\nu )$ un espace mesuré (avec $\nu$ une mesure positive). Soit $f\in {ℒ}^1(X,𝒜,\nu )$ une fonction intégrable à valeurs réelles, alors la fonction

$\begin{array}{cccc}\sigma :& 𝒜& \to & ℝ\\ & A& \mapsto & \underset{A}{\int }f(x)d\nu \end{array}$

est une mesure signée finie sur $(X,𝒜)$.

De plus si on pose ${\nu }_1(A):=\underset{A}{\int }{f}^{+}d\nu$ et ${\nu }_2(A):=\underset{A}{\int }{f}^{-}d\nu$ où $f^{+},f^{-}$ sont respectivement les parties positive et négative de $f$, alors ${\nu }_1,{\nu }_2$ sont des mesures positives sur $(X,𝒜)$ et $\sigma ={\nu }_1-{\nu }_2$.

Décomposition d'une mesure signée

Décomposition de Hahn

Modèle:Théorème Le théorème de décomposition de Hahn, du mathématicien autrichien Hans Hahn, énonce la chose suivante Modèle:Théorème Une décomposition de Hahn de $\sigma$ est définie comme étant la donnée d'un couple $(P,N)$ satisfaisant les quatre propriétés du théorème ci-dessus. Si $(P,N),(P^{\prime },N^{\prime })$ sont deux décompositions de Hahn de $\sigma$, alors $P\mathrm{\Delta }{P}^{\prime }$ et $N\mathrm{\Delta }{N}^{\prime }$ sont totalement nuls pour $\sigma$ (où $\mathrm{\Delta }$ désigne la différence symétrique).

Décomposition de Jordan

Le théorème de décomposition de Jordan, du mathématicien français Camille Jordan, est une conséquence du théorème de décomposition de Hahn. Il énonce la chose suivante Modèle:ThéorèmeLa décomposition de Jordan d'une mesure signée peut facilement se construire à partir d'une décomposition de Hahn. De plus cette construction ne dépend pas de la décomposition de Hahn choisie, plus précisémentModèle:Théorème

Mesures signées finies

Ensemble des mesures signées finies

Dans cette section, $(X,𝒜)$ est un espace mesurable, et $ℳ(X,𝒜)$ désigne l'ensemble des mesures signées finies sur $(X,𝒜)$. Il n'est pas toujours possible d'additionner entre elles des mesures signées si elles sont infinies, mais deux mesures de $ℳ(X,𝒜)$ peuvent toujours être additionnées sans mener à une forme indéterminée, et leur somme est encore une mesure signée finie. Cette propriété, associée à la stabilité de $ℳ(X,𝒜)$ par multiplication scalaire fait de $ℳ(X,𝒜)$ un espace vectoriel réel, ce qui n'est le cas ni de l'ensemble des mesures signées ni de l'ensemble des mesures positives.

De plus, la variation totale définit une norme sur $ℳ(X,𝒜)$ qui en fait un espace de Banach. Cela permet d'utiliser des propriétés issues de l'analyse fonctionnelle pour étudier les mesures signées.

Lien avec les fonctions à variations bornées

Il existe une correspondanceModèle:, entre les mesures signées finies sur $(ℝ,ℬ(ℝ))$, où $ℬ(ℝ)$ est la tribu borélienne sur $ℝ$, et les fonctions continues à droite, à variations bornées et tendant vers 0 en $-\mathrm{\infty }$. Plus précisément, pour une mesure signée finie $\sigma$ sur $(ℝ,ℬ(ℝ))$ on note

$F_{\sigma }(t):=\sigma (]-\mathrm{\infty },t])\mathrm{\forall }t\in ℝ$.

Modèle:ThéorèmeOn peut aussi montrer que pour toute mesure signée finie $\sigma$, la fonction $F_{\sigma }$ est localement absolument continue si et seulement si $\sigma$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.

Voir aussi

Articles connexes

• Variation totale (mathématiques)
• Mesure (mathématiques)
• Mesure complexe

Liens externes

• Modèle:Planetmath
• Modèle:Lien web