Partie positive et partie négative d'une fonction

Tracé de la fonction f(x) = x^2 - 4 (à gauche), de sa partie positive (droite, en vert) et négative (à droite en rouge).

En mathématiques, à toute fonction réelle Modèle:Math, on peut associer deux fonctions positives, sa partie positive Modèle:Math et sa partie négative Modèle:Math, définies respectivement par :

$f^{+}(x)=\max (f(x),0)=\{\begin{array}{cc}f(x)& \mathrm{s}\mathrm{i}f(x)>0\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n},\end{array}$

$f^{-}(x)=-\min (f(x),0)=\{\begin{array}{cc}-f(x)& \mathrm{s}\mathrm{i}f(x)<0\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}.\end{array}$

Malgré son nom, la « partie négative » est donc positive.

Intuitivement, le graphe par exemple de la partie positive est obtenu en tronquant le graphe de Modèle:Math quand il passe sous l'axe des abscisses, c'est-à-dire encore en posant 0 en ces points et en laissant inchangé le reste du graphe.

Relations avec la fonction initiale

Les parties positive et négative sont liées à la fonction initiale par les deux relations suivantes :

$f=f^{+}-f^{-},$

$|f|=f^{+}+f^{-}.$

À partir de ces deux parties on peut exprimer les parties positives et négatives par :

$f^{+}=\frac{|f|+f}{2},$

$f^{-}=\frac{|f|-f}{2}.$

Une autre relation, utilisant les crochets de Iverson est :

$f^{+}=[f>0]f,$

$f^{-}=-[f<0]f.$

La décomposition d'une fonction quelconque en deux fonctions positives se révèle utile par exemple en théorie de l'intégration.

Partie positive et partie négative d'un réel

La partie positive Modèle:Math et la partie négative Modèle:Math d'un nombre réel Modèle:Math sont les deux réels positifs définis par :

$x^{+}=\max (x,0),$

$x^{-}=-\min (x,0).$

On en déduit les mêmes types de relation que pour les fonctions :

$x=x^{+}-x^{-},$

$|x|=x^{+}+x^{-},$

ainsi que :

$x^{+}=\frac{|x|+x}{2},$

$x^{-}=\frac{|x|-x}{2}.$

Les parties positive et négative d'une fonction Modèle:Math sont donc simplement ses composées par les applications Modèle:Math et Modèle:Math respectivement.

Liens externes

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