Régularité par morceaux

En mathématiques, les énoncés de certaines propriétés d'analyse et résultats de convergence se réfèrent à des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continues par morceaux, dérivables par morceauxModèle:Etc.

Ces fonctions sont regroupées par classes de régularité qui sont autant d'espaces vectoriels emboîtés, appelés « classe CModèle:Exp par morceaux » et notés CModèle:ExpInd.

Sur la droite réelle

Cette fonction n'est pas continue sur ℝ. En revanche, elle y est continue par morceaux.

Une fonction Modèle:Mvar est continue par morceaux sur le segment Modèle:Math s’il existe une subdivision Modèle:Math telle que les restrictions de Modèle:Mvar à chaque intervalle ouvert Modèle:Math admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé Modèle:Math

Toute fonction continue sur un segment étant réglée, les fonctions continues par morceaux sur Modèle:Math le sont également.

Concrètement une telle fonction Modèle:Mvar est continue sur Modèle:Math et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque Modèle:Mvar (lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de Modèle:Mvar au point Modèle:Mvar lui-même).

On définit de même les fonctions de classe CModèle:Exp par morceaux, linéaires par morceauxModèle:Etc. On notera qu'une fonction de classe CModèle:1 par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en Modèle:Mvar, mais qu'elle et sa dérivée admettent des limites finies à droite et à gauche en Modèle:Mvar.

Cette notion s'étend naturellement pour les fonctions définies sur un intervalle quelconque : une fonction est dite continue (ou autre propriété) par morceaux sur l'intervalle Modèle:Mvar quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de Modèle:Mvar.

En dimension supérieure

Soient Ω un ouvert borné de [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|ℝModèle:Exp]] et Modèle:Surligner son adhérence.

Pour simplifier, supposons que Ω est un domaine « régulier » (par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence est valable pour toute fonction suffisamment lisse sur ℝModèle:Exp).

Alors :

• une fonction f de Modèle:Surligner dans ℝ est continue par morceaux — noté CModèle:ExpInd(Modèle:Surligner) — s'il existe un ensemble fini d'ouverts disjoints ΩModèle:Ind tels que $\bar{\mathrm{\Omega }}={\cup }_i\overline{{\mathrm{\Omega }}_i}$ et que la restriction de f à chacun des Modèle:Surligner admette un prolongement continu à ℝModèle:Exp ;
• une fonction f de Modèle:Surligner dans ℝ est de classe CModèle:Exp par morceaux — noté CModèle:ExpInd(Modèle:Surligner) — si elle est de classe CModèle:Exp et s'il existe un ensemble fini d'ouverts disjoints ΩModèle:Ind tels que $\bar{\mathrm{\Omega }}={\cup }_i\overline{{\mathrm{\Omega }}_i}$ et que la restriction de f à chacun des Modèle:Surligner soit de classe CModèle:Exp(Modèle:Surligner).

Domaines d'application

Modèle:... La régularité par morceaux est utilisée pour démontrer les résultats importants de certaines théories simplifiées de l'intégration, et leurs applications, comme l'analyse par séries de Fourier.

Voir aussi

• Fonction affine par morceaux
• Application linéaire par morceaux