Espace de Hardy

Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité 𝔻 du plan complexe.

Le cas hilbertien : l'espace Modèle:Math(𝔻)

Définition

Soit Modèle:Math une fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que Modèle:Math admet un développement en série de Taylor en 0 sur le disque unité :

On dit alors que Modèle:Math est dans l'espace de Hardy Modèle:Math(𝔻) si la suite $(\hat{f}(n))$ appartient à [[Espace de suites ℓp|ℓModèle:2]]. Autrement dit, on a :

On définit alors la norme de Modèle:Math par :

Exemple

La fonction $z\mapsto \log (1-z)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n}$ appartient à Modèle:Math(𝔻), par convergence de la série $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^2}$ (série de Riemann convergente).

Une autre expression de la norme

Pour Modèle:Math holomorphe sur 𝔻 et pour Modèle:Math, on définit :

• la fonction Modèle:Math est croissante sur Modèle:Math.
• Modèle:Math(𝔻) si et seulement si $\underset{r\to 1^{-}}{\lim }{M}_2(f,r)<+\mathrm{\infty }$ et l'on a :

Quelques propriétés de l'espace Modèle:Math(𝔻)

• L'espace de Hardy Modèle:Math(𝔻) est isométriquement isomorphe (en tant qu'espace vectoriel normé) à ℓModèle:2. C'est donc un espace de Hilbert.

• Pour tout Modèle:Math(𝔻) et pour tout Modèle:Math dans 𝔻, on a :

Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation Modèle:Math, de Modèle:Math(𝔻) dans ℂ, est continue pour tout Modèle:Math dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :

En fait, on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.

• La topologie faible de la boule unité de Modèle:Math(𝔻) coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.

• Soit Modèle:Math une suite d'éléments de Modèle:Math(𝔻) qui converge en norme vers Modèle:Math alors Modèle:Math converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers Modèle:Math.
• Soit Modèle:Math une suite d'éléments de Modèle:Math(𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.

Le cas général

Définition

Pour Modèle:Math, on définit l'espace de Hardy Modèle:Math(𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques Modèle:Math sur le disque unité telles que : Modèle:Centrer On définit alors : Modèle:Centrer

Quelques propriétés

• Pour Modèle:Math, Modèle:Math(𝔻) est un espace de Banach.
• Soit Modèle:Math(𝔻) pour Modèle:Math. Alors pour presque tout Modèle:Math (au sens de la mesure de Lebesgue) :Modèle:Centrerexiste et l'application Modèle:Math est une isométrie de Modèle:Math(𝔻) sur le sous-espace $H_{*}^p$ de $L^p([0,2\pi ],\frac{\mathrm{d}t}{2\pi })$ où :Modèle:Centrer
• On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques : Pour toute Modèle:Math(𝔻), on a :

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Nikolaï Nikolski, Éléments d'analyse avancée T.1 - Espaces de Hardy, Belin, Modèle:Date-, Modèle:ISBN

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