Module de continuité

En analyse mathématique, un module de continuité est une fonction Modèle:Math utilisée pour mesurer quantitativement la continuité uniforme des fonctions. Ainsi, une fonction Modèle:Math ℝ admet Modèle:Math pour module de continuité si et seulement si Modèle:Retrait Puisqu'on impose aux modules de continuité de s’annuler et d'être continus en 0, une fonction est uniformément continue si et seulement si elle admet un module de continuité. De plus, le fait qu'une famille de fonctions admette un module de continuité commun est identique à la notion d'équicontinuité. Le module Modèle:Math correspond aux fonctions k-lipschitziennes et le module Modèle:Math aux fonctions höldériennes. En général, le rôle de Modèle:Math est de fixer une dépendance fonctionnelle explicite de ε en δ dans la définition de la continuité uniforme.

Un cas particulier est celui des modules de continuité concaves. Pour une fonction entre espaces métriques, il est équivalent d'admettre un module de continuité concave, sous-additif, uniformément continu ou sous-linéaire (au sens de croissance linéaire). L'existence de tels modules de continuité pour une fonction uniformément continue est assurée dès que son domaine est soit compact, soit un sous-ensemble convexe d'un espace normé.

Une fonction uniformément continue sur un espace métrique admet un module de continuité concave si et seulement si les quotients Modèle:Math sont uniformément bornés pour tout couple Modèle:Math loin de la diagonale de Modèle:Math. Les fonctions qui possèdent cette propriété constituant une sous-classe des fonctions uniformément continues, nous les appellerons « fonctions uniformément continues spéciales ».

Historique

Modèle:Harvsp attribue la première utilisation de Modèle:Math pour le module de continuité à Modèle:Harvsp où Modèle:Math est l'oscillation d'une transformée de Fourier. Modèle:Harvsp mentionne les deux noms (1) « module de continuité » et (2) « module d'oscillation » et conclut Modèle:Citation.

Définition formelle

Formellement, un module de continuité est une fonction à valeurs réelles (étendues) Modèle:Math, s'annulant en 0 et continue en 0, c'est-à-dire telle que Modèle:Retrait

Les modules de continuité sont principalement utilisés pour donner une valeur quantitative de la continuité en un point et de l'uniforme continuité pour les fonctions entre espaces métriques en utilisant les définitions suivantes.

Une fonction Modèle:Math admet Modèle:Math pour module de continuité (local) au point Modèle:Math si Modèle:Retrait De même, Modèle:Math admet Modèle:Math pour module de continuité (global) si Modèle:Retrait On dit alors aussi que Modèle:Math est un module de continuité (resp. en Modèle:Math) pour Modèle:Math, ou plus simplement, Modèle:Math est Modèle:Math-continue (resp. en Modèle:Math).

Faits élémentaires

• Si Modèle:Math admet Modèle:Math pour module de continuité et Modèle:Math, alors Modèle:Math admet évidemment aussi Modèle:Math comme module de continuité.
• Si Modèle:Math et Modèle:Math sont des fonctions entre espaces métriques avec pour modules de continuité respectifs Modèle:Math et Modèle:Math, alors la composée Modèle:Math a pour module de continuité Modèle:Math.
• Si Modèle:Math et Modèle:Math sont des fonctions d'un espace métrique X vers un espace vectoriel normé Y, avec pour modules de continuité respectifs Modèle:Math et Modèle:Math, alors toute combinaison linéaire Modèle:Math a pour module de continuité Modèle:Math. En particulier, l'ensemble des fonctions de X dans Y qui ont Modèle:Math pour module de continuité est convexe.
• Si Modèle:Math et Modèle:Math sont des fonctions bornées à valeurs réelles sur un espace métrique X, avec pour modules de continuité respectifs Modèle:Math et Modèle:Math, alors le produit Modèle:Math a pour module de continuité Modèle:Math.
• L'ensemble des fonctions de X dans Y (deux espaces métriques) qui ont Modèle:Math pour module de continuité est fermé dans [[Exponentiation ensembliste|YModèle:Exp]] pour la convergence simple.
• Si (fModèle:Ind)Modèle:Ind est une famille de fonctions à valeurs réelles sur un espace métrique X avec pour module de continuité commun Modèle:Math, alors l'enveloppe inférieure $\underset{i\in I}{\inf }{f}_i$ et l'enveloppe supérieure $\underset{i\in I}{\sup }{f}_i$ sont des fonctions à valeurs réelles avec pour module de continuité Modèle:Math, sous réserve qu'elles soient finies en tout point (si Modèle:Math est à valeurs finies, il suffit pour cela qu'elles soient finies en au moins un point).

Remarques

• Certains auteurs demandent des propriétés supplémentaires, par exemple Modèle:Math est croissante ou continue. Si Modèle:Math admet un module de continuité au sens de la définition faible précédente, elle admet un module de continuité qui est croissant et infiniment dérivable sur Modèle:Math. On obtient alors que

${\omega }_1(t):=\underset{s\le t}{\sup }\omega (s)$ est croissante et Modèle:Math ;

${\omega }_2(t):=\frac{1}{t}\underset{t}{\overset{2t}{\int }}{\omega }_1(s)\mathrm{d}s$ est de plus continue et Modèle:Math,

et une variante adéquate de sa définition la rend infiniment dérivable sur Modèle:Math.

• Toute fonction Modèle:Math uniformément continue admet un module de continuité minimal Modèle:Math, qui est appelé le module de continuité (optimal) pour Modèle:Math :

$\mathrm{\forall }t\ge 0{\omega }_f(t):=\sup \{d_Y(f(x),f(x^{\prime }))\mid x\in X,x^{\prime }\in X,d_X(x,x^{\prime })=t\}.$

De même, toute fonction continue en un point Modèle:Math admet un module de continuité minimal en Modèle:Math, Modèle:Math (le module de continuité (optimal) de Modèle:Math en Modèle:Math) :

$\mathrm{\forall }t\ge 0{\omega }_f(t,x):=\sup \{d_Y(f(x),f(x^{\prime }))\mid x^{\prime }\in X,d_X(x,x^{\prime })=t\}.$

Dans la plupart des cas, le module de continuité optimal de Modèle:Math ne peut pas être calculé de manière explicite, mais uniquement majoré (par tout module de continuité de Modèle:Math). De plus, les propriétés principales des modules de continuité concernent directement la définition non restrictive.

• En général, le module de continuité d'une fonction uniformément continue sur un espace métrique peut prendre la valeur Modèle:Math. La fonction f : ℕ → ℕ telle que f(n) = nModèle:2 est uniformément continue par rapport à la distance (discrète) sur ℕ, et son module de continuité minimal est Modèle:Math si Modèle:Math est un entier naturel et Modèle:Math sinon.

Modules de continuité spéciaux

Les modules de continuité spéciaux donnent également certaines propriétés globales des fonctions telles que le prolongement et l'approximation. Dans cette section, nous nous intéresserons principalement aux modules de continuité concaves, sous-additifs, uniformément continus, ou sous-linéaires. Ces propriétés sont essentiellement équivalentes, du fait que pour un module Modèle:Math, chaque assertion implique la suivante :

• Modèle:Math est concave ;
• Modèle:Math est sous-additif ;
• Modèle:Math est uniformément continu ;
• Modèle:Math est sous-linéaire, c'est-à-dire qu'il existe des constantes Modèle:Math et Modèle:Math telles que Modèle:Math pour tout Modèle:Math ;
• Modèle:Math est majoré par un module de continuité concave.

Ainsi, pour une fonction Modèle:Math entre espaces métriques, il est équivalent d'admettre un module de continuité concave, sous-additif, uniformément continu ou sous-linéaire. Dans ce cas, la fonction Modèle:Math Modèle:Refsou. Ceci est toujours vrai dans le cas où le domaine est compact, mais aussi dans le cas où c'est un convexe C d'un espace normé. En effet, une fonction uniformément continue Modèle:Math admet toujours un module de continuité sous-additif, par exemple son module de continuité optimal Modèle:Math défini précédemment, puisqu'on a, pour tous Modèle:Math et Modèle:Math positifs :

${\omega }_f(s+t)=\underset{\Vert y-x\Vert =s+t}{\sup }{d}_Y(f(x),f(y))$

$\le \underset{\Vert y-x\Vert =s+t}{\sup }\{d_Y(f(x),f\left(\frac{sx+ty}{s+t}\right))+d_Y(f\left(\frac{sx+ty}{s+t}\right),f(y))\}\le {\omega }_f(t)+{\omega }_f(s).$

En conséquence immédiate, toute fonction uniformément continue sur un convexe d'un espace normé a une croissance sous-linéaire : il existe des constantes Modèle:Math et Modèle:Math telles que Modèle:Math pour tout Modèle:Math.

Modules sous-linéaires et perturbations bornées d'une fonction lipschitzienne

On peut facilement trouver un module de continuité sous-linéaire pour une fonction qui est une perturbation bornée d'une fonction lipschitzienne : si Modèle:Math est uniformément continue avec Modèle:Math pour module de continuité et Modèle:Math est k-lipschitzienne à distance (uniforme) Modèle:Math de Modèle:Math, alors Modèle:Math admet un module de continuité sous-linéaire Modèle:Math. Inversement pour les fonctions à valeurs réelles, toute fonction uniformément continue spéciale est une perturbation bornée et uniformément continue d'une fonction lipschitzienne.

Modules sous-additifs et prolongeabilité

La propriété ci-dessus pour les fonctions uniformément continues sur un domaine convexe admet une sorte de réciproque, au moins dans le cas des fonctions à valeurs réelles : toute fonction uniformément continue spéciale Modèle:Math ℝ définie sur un sous-ensemble X d'un espace normé E admet un prolongement à E qui préserve tout module sous-additif Modèle:Math de Modèle:Math. Le plus petit et le plus grand de ces prolongements sont :

$f_{*}(x):=\underset{y\in X}{\sup }\{f(y)-\omega (|x-y|)\},$

$f^{*}(x):=\underset{y\in X}{\inf }\{f(y)+\omega (|x-y|)\}.$

Comme remarqué, tout module de continuité sous-additif est uniformément continu : en fait, il admet lui-même pour module de continuité. Par conséquent, Modèle:Math et Modèle:Math sont respectivement les enveloppes inférieure et supérieure d'une famille Modèle:Math-continue — elles sont donc encore Modèle:Math-continues.

Modules concaves et approximation lipschitzienne

Toute fonction uniformément continue spéciale Modèle:Math ℝ définie sur un espace métrique X est une limite uniforme de fonctions lipschitziennes. De plus, la vitesse de convergence, en termes de constante de Lipschitz, de l'approximation, est déterminée par le module de continuité de Modèle:Math. Plus précisément, soit Modèle:Math le module de convergence concave minimal de Modèle:Math, donné par

$\omega (t)=\inf \{at+b\mid \mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in X|f(x)-f(x^{\prime })|\le a|x-x^{\prime }|+b\}.$

Soit Modèle:Math la distance uniforme entre la fonction Modèle:Math et l'ensemble Modèle:Math des fonctions s-lipschitziennes à valeurs réelles sur X :

$\delta (s):=\inf \{\Vert f-u{\Vert }_{\mathrm{\infty },X}\mid u\in {\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}_s\}\le +\mathrm{\infty }.$

Alors, les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math peuvent être reliées entre elles via la transformation de Legendre : plus précisément, les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math (convenablement étendues par Modèle:Math hors de leur domaine de finitude) forment un couple de fonctions convexes conjuguées, car Modèle:Retrait Puisque Modèle:Math pour Modèle:Math, on obtient Modèle:Math pour Modèle:Math, ce qui signifie que Modèle:Math est limite uniforme de fonctions lipschitziennes. Une approximation optimale est donnée par les fonctions

$f_s:=\delta (s)+\underset{y\in X}{\inf }\{f(y)+sd(x,y)\},\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}s\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\delta ):$

chaque Modèle:Math est Modèle:Math-lipschitzienne et Modèle:Math. Par exemple, les fonctions Modèle:Math-höldériennes de X dans ℝ sont les fonctions qui peuvent être uniformément approchées par des fonctions Modèle:Math-lipschitziennes avec une vitesse de convergence $O(s^{-\frac{\alpha }{1-\alpha }})$, alors que les fonctions « presque Lipschitz » (avec pour module de continuité Modèle:Math) sont caractérisées par une vitesse de convergence exponentielle Modèle:Math.

Exemples d'utilisation

• Soit Modèle:Math ℝ une fonction continue. Dans la démonstration de l'intégrabilité de Riemann de Modèle:Math, on borne généralement la distance entre les sommes de Riemann supérieures et inférieures par rapport à la subdivision P := (tModèle:Ind)Modèle:Ind en utilisant le module de continuité de Modèle:Math et le pas |P| de la subdivision Modèle:Math :

$S^{*}(f;P)-S_{*}(f;P)\le (b-a)\omega (|P|).$

• Pour un exemple d'utilisation pour les séries de Fourier, voir le Modèle:Lien.

Groupe de translations des fonctions Modèle:Math et modules de continuité Modèle:Math

Soient Modèle:Math, Modèle:Math : ℝModèle:Exp → ℝ une fonction [[Espace Lp|de classe Modèle:Math]] et Modèle:Math ℝModèle:Exp. La h-translatée de Modèle:Math, c'est-à-dire la fonction ${\tau }_{h}f:=f(\cdot -h)$ est de classe Modèle:Math ; de plus, si Modèle:Math, alors $\Vert {\tau }_{h}f-f{\Vert }_p=o(1),$ quand Modèle:Math. Ainsi, puisque les translations sont des isométries linéaires, $\Vert {\tau }_{v+h}f-{\tau }_{v}f{\Vert }_p=o(1),$ quand Modèle:Math, uniformément en Modèle:Math ℝModèle:Exp.

Dans le cas où Modèle:Math, la propriété ci-dessus n'est pas vraie en général : en fait, cela revient à être uniformément continu. Ceci est dû à la définition suivante qui généralise la notion de module de continuité des fonctions uniformément continues : un module de continuité Modèle:Math pour une fonction mesurable Modèle:Math : ℝ → ℝ est un module de continuité Modèle:Math tel que $\Vert {\tau }_{h}f-f{\Vert }_p\le \omega (h).$ Les modules de continuité donnent alors une valeur quantitative à la propriété de continuité des fonctions Modèle:Math.

Module de continuité d'ordre plus élevés

La définition formelle du module de continuité utilise la notion de différence finie du premier ordre :

${\omega }_f(\delta )=\omega (f,\delta )=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x;|h|<\delta ;}|{\mathrm{\Delta }}_h(f,x)|.$

Si l'on remplace cette différence par une différence d'ordre n, on obtient un module de continuité d'ordre n :

${\omega }_n(f,\delta )=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x;|h|<\delta ;}|{\mathrm{\Delta }}_h^n(f,x)|.$

Références

• G. Choquet, Cours d'analyse. Tome II, Topologie, Masson, Paris, 1964.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article, réimprimé dans : Henri Lebesgue, Œuvres scientifiques, vol. 3., Modèle:P.259-351.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:EncycloMath.

Articles connexes

• Analyse constructive
• Module càdlàg
• Inégalité de Jackson
• Module de convergence d'une suite
• Plongement de Kuratowski et Théorème de prolongement de Tietze