Plongement de Kuratowski
En mathématiques, le plongement de Kuratowski permet d'identifier tout espace métrique à une partie d'un espace de Banach (de façon non canonique).
Théorème de Kuratowski-Wojdysławski
Si Modèle:Math est un espace métrique, Modèle:Math un point de Modèle:Math et [[Espace de suites ℓp|Modèle:Math]] l'espace de Banach des applications bornées de Modèle:Math dans ℝ, muni de la norme de la convergence uniforme, alors l'application Modèle:Retrait définie par Modèle:Retrait est une isométrie, dont l'image est fermée dans son enveloppe convexe[1].
Si Modèle:Math est borné, on peut définir une telle isométrie plus simplement, en posant Modèle:Math[2]Modèle:,[3].
On peut bien sûr restreindre l'ensemble d'arrivée au sous-espace vectoriel fermé de Modèle:Math constitué des applications bornées continues[4].
Utilisations
Ces plongements sont utiles parce que les espaces de Banach ont certaines propriétés que ne possèdent pas tous les espaces métriques : ce sont des espaces vectoriels — ce qui permet d'ajouter des points et de pratiquer de la géométrie élémentaire sur les droites, les plansModèle:Etc. — et ils sont complets. Étant donné une application f dont l'ensemble d'arrivée est X, on peut vouloir étendre f à un ensemble de définition plus grand, ce qui nécessite souvent d'agrandir en même temps son ensemble d'arrivée, en un espace de Banach contenant X.
Histoire
Formellement, Kazimierz Kuratowski fut le premier à introduire ce plongement[5], mais une variante très proche apparaît déjà dans des articles de Fréchet. Ces articles l’utilisent respectivement pour exhiber Modèle:Math comme un espace métrique séparable "universel" (il n'est pas lui-même séparable, d'où les guillemets)[6] et pour construire une métrique générale sur ℝ comme pullback de la métrique sur une simple courbe de Jordan dans Modèle:Math[7].
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Articles connexes
- Modèle:Lien, un plongement d'un espace métrique dans un Modèle:Lien, défini de façon analogue au plongement de Kuratowski
- Théorème de la goutte, un exemple d'utilisation