Théorème de prolongement de Tietze

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Le mathématicien Pavel Urysohn a généralisé le résultat de Heinrich Tietze aux espaces normaux.

En mathématiques, le théorème de prolongement de Tietze encore appelé de Tietze-Urysohn est un résultat de topologie. Ce théorème indique qu'une fonction continue à valeurs réelles définie sur un fermé d'un espace topologique normal se prolonge continument sur tout l'espace. Le théorème s'applique donc en particulier aux espaces métriques ou compacts. Ce résultat généralise le lemme d'Urysohn.

Ce théorème possède de multiples usages en topologie algébrique. Il permet, par exemple de démontrer le théorème de Jordan, indiquant qu'un lacet simple divise l'espace en deux composantes connexes.

Une première version du théorème est l'œuvre du mathématicien Heinrich Tietze (1880 - 1964) pour les espaces métriques, et a été généralisée par Pavel Urysohn (1898 - 1924) aux espaces normaux.

Énoncés

Dans (ii), l'espace ℝ peut évidemment être remplacé par n'importe quel espace homéomorphe, comme un intervalle ouvert non vide ]–M, M[. De même, dans (iii), [–M, M] peut être remplacé par n'importe quel segment réel, comme le segment [0, 1].

On verra au cours de la preuve que l'hypothèse de séparation est en fait inutile. Un espace est dit normal s'il est à la fois [[axiome de séparation (topologie)#Séparation T4 et espaces normaux|TModèle:Ind]] et séparé or, d'après le lemme d'Urysohn, un espace X (séparé ou pas) vérifie TModèle:Ind si et seulement si, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue de X dans [0, 1] qui vaut 1 sur F et 0 sur G. On va en déduire les équivalences : (ii) ⇔ (iii) ⇔ TModèle:Ind.

Démonstrations

• (iii) ⇒ TModèle:Ind : il suffit d'appliquer (iii) à la fonction f de A = F ⋃ G dans [0, 1] qui vaut 1 sur F et 0 sur G.
• (iii) ⇒ (ii) s'en déduit : si f de A dans ]–M, M[ possède un prolongement continu g de X dans [–M, M], elle en possède aussi un de X dans ]–M, M[, en multipliant g par une fonction continue de X dans [0,1] qui vaut 1 sur A et qui s'annule aux points où g vaut M ou –M.
• La réciproque (ii) ⇒ (iii) est immédiate : si f de A dans [–M, M] possède un prolongement continu g de X dans ℝ, elle en possède aussi un de X dans [–M, M], obtenu en « rabotant » g, i.e. en remplaçant par M (resp. –M) tous les g(x) > M (resp. < –M).

Il reste à prouver que TModèle:Ind ⇒ (iii). On utilise pour cela un lemme :

• Si X est un espace TModèle:Ind alors, pour toute application continue Modèle:Math sur un fermé A de X et à valeurs dans [–M, M], il existe une fonction continue gModèle:Ind de X dans [–M/3, M/3] telle que$\mathrm{\forall }x\in A|f(x)-g_1(x)|\le \frac{2M}{3}.$En effet soient A_– et A₊ les images réciproques par f de [–M, –M/3] et [M/3, M] : d'après le lemme d'Urysohn, il existe une application continue g₁ de X dans [–M/3, M/3] qui vaut –M/3 sur A_– et M/3 sur A₊, donc qui vérifie les conditions requises.
• TModèle:Ind ⇒ (iii) :
  En effet, on déduit du lemme l'existence d'une suite d'applications g_k continues sur X telles que :$(1)\mathrm{\forall }x\in A|f(x)-\sum _{k=1}^n{g}_k(x)|\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n}M,$$(2)\mathrm{\forall }x\in X|g_k(x)|\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^{k}M/2.$D'après la majoration (2), la série des g_k est normalement convergente donc uniformément convergente. Sa somme g est donc une application continue sur X car son terme général l'est. De plus, Modèle:Nobr D'après la majoration (1), la restriction de g à A coïncide avec Modèle:Math.

Voir aussi

Articles connexes

• Extenseur absolu
• Modèle:Lien
• Théorème de prolongement de Dugundji

Ouvrages

• Modèle:Dieudonné1
• Claude Tisseron, Notions de topologie, Hermann (1996) Modèle:ISBN