Fonction à oscillation moyenne bornée

L'ensemble des fonctions à oscillations moyennes bornées, usuellement noté $BMO$ de l'anglais Modèle:Citation étrangère, est un espace de fonctions utilisé en analyse harmonique.

Il a été introduit par Fritz John et Louis Nirenberg pour résoudre des problèmes d'équations aux dérivées partielles.

Définition

Pour toute fonction $f\in$[[fonction localement intégrable|Modèle:Math]]$({ℝ}^n)$, on définit $\Vert f{\Vert }_{BMO}=\underset{Q\subset {ℝ}^n}{\sup }\frac{1}{|Q|}\underset{Q}{\int }|f(x)-f_Q|\mathrm{d}x.$.

La borne supérieure est prise sur l'ensemble des cubes $Q$ de ${ℝ}^n$, l'expression $|Q|$ désigne la mesure de Lebesgue de $Q$, et $f_Q$ désigne la moyenne de $f$ sur $Q$ : $f_Q=\frac{1}{|Q|}\underset{Q}{\int }f(x)\mathrm{d}x$.

Par définition,

$BMO=\{f\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{\mathrm{1}}({ℝ}^n)\mid \Vert f{\Vert }_{BMO}<\mathrm{\infty }\}$.

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