Théorème de différentiation de Lebesgue

Modèle:Homon En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie de l'intégration, le théorème de différentiation de Lebesgue énonce que sous certaines conditions, on peut retrouver une fonction de ℝModèle:Exp dans ℝ en « dérivant son intégrale », mais il faut avant tout définir ce qu'est la « dérivée d'une intégrale » lorsque l'on intègre sur une partie non vide de ℝModèle:Exp.

Motivation

Dès le début de la théorie de l'intégration, la question s'est posée de savoir sous quelles conditions la dérivation et l'intégration sont des applications réciproques l'une de l'autre. Une réponse à cette question est donnée par le théorème fondamental de l'analyse qui a été énoncé et démontré plusieurs fois dans les différentes théories de l'intégration (intégrale de Riemann, intégrale de Lebesgue). La version la plus générale (celle qui se situe dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue) de la première partie du théorème fondamental du calcul a été démontré dans le livre Leçons sur la théorie de l'intégration et la recherche de fonctions primitives de Lebesgue à qui l'on doit aussi une généralisation du théorème au cas des mesures sur ℝ.

Énoncé

Pour toute fonction intégrable au sens de Lebesgue $f\in L^1({ℝ}^n)$, on a pour presque tout $x\in {ℝ}^n$ : Modèle:Retrait où $B(x,r)$ désigne la boule de ℝModèle:Exp centrée en Modèle:Math et de rayon Modèle:Math > 0 et $\lambda$ désigne la mesure de Lebesgue.

Une autre manière d'énoncer le théorème de différentiation de Lebesgue est de dire que l'ensemble des points de ℝModèle:Exp qui ne sont pas des points de Lebesgue est négligeable.

Démonstration

Pour $x\in {ℝ}^n$ et $r>0$, on pose :

$T_r(f)(x)=\frac{1}{\lambda \left(B(x,r)\right)}\underset{B(x,r)}{\int }|f(t)-f(x)|\mathrm{d}\lambda (t)$

et

$T(f)(x)=\underset{r\to 0}{\mathrm{lim\; sup}}{T}_r(f)(x)$

Nous prenons ici la limite supérieure car la limite lorsque r tend vers 0 n'est pas nécessairement définie, le but étant ici de montrer que $T(f)=0$ presque partout en montrant que pour tout $c>0,\{Tf>c\}$ est négligeable.

Soit $k>0$ un entier. Nous savons d'après la densité des fonctions continues dans les [[Espace Lp|espaces Modèle:Math]] qu'il existe une fonction continue $g$ telle que $\Vert f-g{\Vert }_1<\frac{1}{k}$.

Si on pose $h=f-g$ on a alors $T_r(h)(x)\le \frac{1}{\lambda \left(B(x,r)\right)}\underset{B(x,r)}{\int }|h(t)|\mathrm{d}\lambda (t)+|h(x)|$ et donc $T(h)(x)\le Mh(x)+|h(x)|(*)$

où $Mh$ est la fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à $h$.

La continuité de g assure $T(g)=0$, de $f=g+h$ on tire $T_r(f)\le T_r(g)+T_r(h)$ et donc, en passant à la limite sup, $T(f)\le T(g)+T(h)=T(h)$ ce qui peut encore se majorer d'après $(*)$ de la manière suivante : $T(f)\le Mh+|h|$.

On a alors pour tout $c>0$ l'inclusion suivante $\{Tf>2c\}\subset \{Mh>c\}\cup \{|h|>c\}$ or d'après l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood $\lambda (\{Mh>c\})\le \frac{3^n\Vert h{\Vert }_1}{c}\le \frac{3^n}{ck}$ et d'autre part $\lambda (\{|h|>c\})\le \frac{\Vert h{\Vert }_1}{c}\le \frac{1}{kc}$. L'ensemble $\{Mh>c\}\cup \{|h|>c\}$ qui est mesurable a donc une mesure inférieure à $\frac{3^n+1}{ck}$ ce qui veut dire que $\{Tf>2c\}$ est inclus dans un ensemble de mesure inférieur à $\frac{3^n+1}{ck}$ pour tout entier $k>0$, en prenant alors l'intersection sur $k>0$ de tous ces ensembles on montre alors que $\{Tf>2c\}$ est inclus dans un ensemble de mesure nulle, $\{Tf>2c\}$ est donc négligeable, ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire

En appliquant le théorème de différentiation à la fonction indicatrice d'une partie Lebesgue-mesurable non négligeable et de mesure finie Modèle:Math de ℝModèle:Exp, on obtient le Modèle:Lien : pour presque tout point Modèle:Math de Modèle:Math, Modèle:Retrait

Annexes

Bibliographie

• Modèle:Rudin
• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Absolue continuité
• Lemme de recouvrement de Vitali