Lemme de recouvrement de Vitali

Modèle:Ébauche Le lemme de recouvrement de Vitali est un résultat combinatoire de théorie de l'intégration des espaces euclidiens. Il est largement utilisé dans des démonstrations en analyse réelle.

Énoncé

Toutes les boules considérées sont implicitement de rayon strictement positif. Pour toute boule ouverte (resp. fermée) B de rayon r, on notera kB la boule ouverte (resp. fermée) de même centre et de rayon $k\times r$.

• Version finie : Tout ensemble fini V de boules (dans ℝModèle:Exp ou plus généralement dans un espace métrique), toutes ouvertes ou toutes fermées, contient une partie D de boules disjointes telle que$\bigcup _{B\in V}B\subset \bigcup _{B\in D}3B.$
• Version infinie : Soit c > 1. Tout ensemble V de boules dont les rayons sont majorés par une même constante contient une partie au plus dénombrable D de boules disjointes telle que$\bigcup _{B\in V}B\subset \bigcup _{B\in D}(2c+1)B.$ De plus, pour chaque élément B de V il existe une boule C dans D telle que B intersecte C et $B\subset (2c+1)C$.

Preuve

• Version finie :
  On définit par récurrence une suite finie BModèle:Ind, … , BModèle:Ind de boules de V en choisissant, pour BModèle:Ind, une boule de rayon maximum parmi celles disjointes des BModèle:Ind pour 0 ≤ k < n. Toute boule B de V, de rayon r, rencontre ainsi une boule BModèle:Ind, de rayon rModèle:Ind ≥ r. L'inégalité triangulaire assure alors que B est inclus dans 3BModèle:Ind.
• Modèle:AncreVersion infinie :
  Soient R un réel majorant tous les rayons des boules de V et, pour tout entier naturel n, VModèle:Ind l'ensemble des boules de V dont le rayon appartient à ]cModèle:ExpR, cModèle:ExpR]. On définit par récurrence une suite (DModèle:Ind) de parties au plus dénombrables de V en choisissant, pour DModèle:Ind, un ensemble maximal de boules de VModèle:Ind disjointes entre elles et disjointes (si n > 0) de toutes les boules de DModèle:Ind, … , DModèle:Ind, puis on prend pour D la réunion des DModèle:Ind. Toute boule B de V, appartenant à un VModèle:Ind, intersecte une boule B' de DModèle:Ind ∪ … ∪ DModèle:Ind. Le rayon de B est alors strictement inférieur à c fois de celui de B' donc (par inégalité triangulaire) B ⊂ (2c + 1)B'.

Applications

Une application directe du lemme de recouvrement de Vitali permet de prouver l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood. Comme dans cette preuve, le lemme de Vitali est fréquemment utilisé lorsque, par exemple, on étudie la mesure de Lebesgue, λModèle:Ind, d'une partie mesurable E de ℝModèle:Exp, que l'on sait être contenue dans la réunion d'une certaine collection V de boules, chacune d'entre elles ayant une mesure pouvant être calculée aisément, ou ayant une propriété particulière que l'on souhaite exploiter. Donc, si l'on calcule la mesure de cette union, on aura une borne supérieure de la mesure de E. Cependant, il est difficile de calculer la mesure de l'union de ces boules si elles se superposent. Avec le théorème de Vitali, on peut choisir une sous-collection D dénombrable et disjointe telle que, en multipliant les rayons par 2c + 1, cette sous-collection transformée contienne le volume occupé par la collection de boules originale, et donc couvre E. On a donc, en prenant par exemple c = 2 :

$m(E)\le {\lambda }_d\left(\bigcup _{B\in V}B\right)\le {\lambda }_d\left(\bigcup _{B\in D}5B\right)\le \sum _{B\in D}{\lambda }_d(5B)=5^d\sum _{B\in D}{\lambda }_d(B)=5^d{\lambda }_d({\cup }_{B\in D}B).$

Un résultat qui rend parfois les mêmes services que le lemme de Vitali est Modèle:Lien, dont les principales différences sont que les boules sélectionnées ne recouvrent pas les boules de départ mais seulement leurs centres, et que la condition qu'elles soient disjointes est par contre affaiblie : on permet qu'un certain nombre d'entre elles (égal à une constante qui ne dépend que de la dimension d de l'espace euclidien) aient un point commun.

Théorème de recouvrement de Vitali

Dans ce théorème, le but est de recouvrir, à un ensemble « négligeable » près, une partie donnée E de ℝModèle:Exp, par une famille de parties disjointes deux à deux, extraite d'un « recouvrement de Vitali » de E.

Un recouvrement V d'une partie E de ℝModèle:Exp est dit « de Vitali » si, pour tout point x de E, il existe dans V une suite de parties qui tend vers x, c'est-à-dire qui contiennent x et dont le diamètre tend vers 0.

Dans le cadre originel de Vitali, un ensemble négligeable s'entend au sens de la mesure de Lebesgue λModèle:Ind sur ℝModèle:Exp, mais il existe des variantes relatives à d'autres mesures, cf. ci-dessous.

Il est utile de remarquer que si V est un recouvrement de Vitali d'une partie E d'un ouvert de ℝModèle:Exp alors, la famille des éléments de V inclus dans cet ouvert est encore un recouvrement de Vitali de E.

Pour la mesure de Lebesgue

Le théorème de recouvrement suivant, dû à LebesgueModèle:,, nécessite l'introduction de la notion de régularité, qui formalise l'intuition d'ensemble « pas trop maigre », c'est-à-dire assez proche d'une boule par ses proportions, en un sens assez vague pour être [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|indépendant de la norme choisie sur ℝModèle:Exp]]. Lebesgue a ainsi généralisé le résultat originel de Vitali, qui concernait seulement les recouvrements par des hypercubes (qui sont exactement des boules, pour une certaine norme).

Une partie mesurable F de ℝModèle:Exp est dite Modèle:Math-régulière (au sens de Lebesgue), pour une certaine constante Modèle:Math > 0, s'il existe une boule ouverte B telle que

$B\supset F\text{ et }{\lambda }_d(F)\ge \gamma {\lambda }_d(B).$

Une famille de parties est dite régulière si toutes les parties sont Modèle:Math-régulières pour une même constante Modèle:Math. Les boules (pour une norme arbitraire) forment une famille régulière de ℝModèle:Exp, de même que, dans ℝModèle:2, les rectangles dont le rapport entre les deux côtés est compris entre un réel strictement positif fixé et son inverse, tandis que la famille de tous les rectangles n'est pas régulière.

Un recouvrement régulier au sens de Vitali d'une partie E de ℝModèle:Exp est une famille V de parties de ℝModèle:Exp telle que, pour tout point x de E, il existe une suite régulière de parties de V qui « tend vers x » au sens ci-dessus (on ne demande cependant pas que la constante de régularité soit la même pour tous les x).

Modèle:Démonstration/début Sans perte de généralité, on peut supposer que tous les rayons des boules de V sont inférieurs à 1. D'après lemme de Vitali, avec par exemple c = 2, dans sa version plus précise fournie par la preuve ci-dessus, V contient une partie au plus dénombrable D de boules disjointes telle que toute boule B de V rencontre une boule B' de D vérifiant B ⊂ 5B'.

On note B(r) la boule ouverte de rayon r. L'objectif est de démontrer, pour tout r > 0, que l'ensemble Z des éléments de E ∩ B(r) qui n'appartiennent à aucune boule de D est négligeable.

Notons (FModèle:Ind) la famille des boules de D qui rencontrent B(r). Comme leurs rayons sont inférieurs à 1, leur réunion est incluse dans B(r + 2) et, comme elles sont disjointes, la somme de leurs mesures est par conséquent finie. Il existe donc, pour tout ε > 0, un entier N tel que

$\sum _{n>N}{\lambda }_d(F_n)<\epsilon .$

Notons alors K = FModèle:Ind ∪ … ∪ FModèle:Ind. Pour tout point z de Z, puisque z appartient à la fois à E et à l'ouvert B(r)\K, il appartient à une boule B de V incluse dans cet ouvert. Cette boule B est incluse dans 5B' pour une certaine boule B' de D qui rencontre B ⊂ B(r)\K, donc qui est égale à FModèle:Ind pour un certain n > N. Ainsi,

$Z\subset {\cup }_{n>N}5F_n\text{ et }{\lambda }_d({\cup }_{n>N}5F_n)\le \sum _{n>N}{\lambda }_d(5F_n)=5^d\sum _{n>N}{\lambda }_d(F_n)<5^d\epsilon .$

Comme cette majoration est établie pour tout ε > 0, ceci prouve que Z est bien négligeable. Modèle:Démonstration/fin

La démonstration dans le cas général ne fait pas appel au lemme de Vitali mais utilise les mêmes arguments que la précédente, de façon plus fine.

On démontre d'abord le théorème dans le cas où la constante de régularité est la même pour tous les points de E et où E est borné, puis on s'affranchit de ces deux hypothèses.

Modèle:Démonstration/début On suppose E inclus dans une boule ouverte B. Sans perte de généralité, tous les fermés de V sont aussi dans cette boule.

On construit par récurrence une suite (FModèle:Ind) (finie ou infinie) d'éléments de V de la manière suivante. Pour tout entier naturel n, on pose VModèle:Ind = l'ensemble des éléments de V qui ne rencontrent aucun des FModèle:Ind pour 0 ≤ k < n. Si VModèle:Ind est vide, la construction est terminée. Sinon, on note δModèle:Ind la borne supérieure des mesures de tous les éléments de VModèle:Ind et on choisit pour FModèle:Ind un élément de VModèle:Ind de mesure supérieure à δModèle:Ind/2.

Comme les FModèle:Ind sont disjoints et inclus dans B, la somme des δModèle:Ind est finie. A fortiori, δModèle:Ind → 0, donc l'intersection des VModèle:Ind est vide.

L'hypothèse de régularité permet d'associer à chaque élément F de V une boule BModèle:Ind, de rayon rModèle:Ind, qui le contient et dont la mesure est majorée par celle de F divisée par Modèle:Math. On se retrouve ainsi dans la même situation que dans la démonstration précédente : pour tout fermé F de V, si n est l'entier tel que F soit dans VModèle:Ind mais rencontre FModèle:Ind alors, les deux boules correspondantes se rencontrent, donc

$F\subset B_F\subset (1+2k)B_{F_n}\text{ avec }k=\sqrt[d]{\frac{2}{\gamma }},$

puisque

$\frac{r_F}{r_{F_n}}=\sqrt[d]{\frac{{\lambda }_d(B_F)}{{\lambda }_d(B_{F_n})}}\le \sqrt[d]{\frac{{\lambda }_d(F)/\gamma }{{\lambda }_d(F_n)}}\le \sqrt[d]{\frac{{\delta }_n/\gamma }{{\delta }_n/2}}=k.$

De plus,

${\lambda }_d((1+2k)B_{F_n})=(1+2k{)}^d{\lambda }_d(B_{F_n})\le \frac{(1+2k{)}^d}{\gamma }{\lambda }_d(F_n)\le \frac{(1+2k{)}^d}{\gamma }{\delta }_n.$

Tous les ingrédients sont donc réunis pour montrer, exactement comme dans la démonstration précédente, que l'ensemble des points de E qui n'appartiennent à aucun FModèle:Ind est négligeable.

Modèle:Démonstration/début Pour tout entier n > 0, notons EModèle:Ind l'ensemble des points de E distants d'au plus n de l'origine et dont la constante de régularité est supérieure à 1/n. Il suffit de définir par récurrence une suite (DModèle:Ind) de familles finies de fermés de V, dont la réunion D ne contient que des fermés disjoints et telle, que pour tout n,

${\lambda }_d(E_n\setminus {\cup }_{1\le k\le n,F\in D_k}F)\le 1/n.$

Pour construire DModèle:Ind, il suffit d'appliquer le résultat précédent à l'ensemble (borné)

$E_n\setminus {\cup }_{1\le k<n,F\in D_k}F,$

muni du recouvrement (régulier au sens de Vitali) constitué des éléments de V dont la constante de régularité est supérieure à 1/n et qui sont disjoints des fermés des DModèle:Ind précédents. Modèle:Démonstration/fin

Pour la mesure de Hausdorff

On peut utiliser cette approche en considérant la mesure de Hausdorff à la place de celle de Lebesgue. Dans ce cas, on obtient le théorème suivant.

Théorème. Soient E ⊂ ℝModèle:Exp un ensemble HModèle:Exp-mesurable et V un recouvrement de Vitali de E. Alors il existe dans V une famille au plus dénombrable D de parties disjointes deux à deux telle que

De plus, si E a une mesure de Hausdorff finie alors, pour tout ε > 0, on peut choisir cette sous-collection D telle que

Liens externes

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