Fonction maximale de Hardy-Littlewood

En mathématiques et plus particulièrement en analyse, la fonction maximale de Hardy-Littlewood est un opérateur qui associe à toute fonction localement intégrable Modèle:Mvar en tout point Modèle:Mvar sur ℝModèle:Exp comme étant la borne supérieure des valeurs moyennes de Modèle:Math sur les boules centrées en Modèle:Mvar. La notion de fonction maximale est intervenue pour la première fois dans un article publié en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood.

Formulation

À toute fonction localement intégrable $f\in {\mathrm{L}}_{\text{loc}}^1\left({ℝ}^n\right)$ on peut associer la fonction maximale de Hardy-Littlewood $Mf:{ℝ}^n\to [0,+\mathrm{\infty }]$ définie par

$Mf(x)=\underset{r>0}{\sup }\frac{1}{{\lambda }_n(B(x,r))}\underset{B(x,r)}{\int }|f(t)|\mathrm{d}{\lambda }_n(t)$

où Modèle:Math désigne la boule de ℝModèle:Exp centrée en Modèle:Mvar et de rayon Modèle:Math et Modèle:Math désigne la mesure de Lebesgue sur ℝModèle:Exp.

Propriétés

• La fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à toute fonction localement intégrable est semi-continue inférieurement.

• Cette fonction Modèle:Mvar n'est jamais intégrable, sauf si Modèle:Math. Il existe même Modèle:Mvar intégrable telle que Modèle:Mvar ne soit pas localement intégrable.

Inégalité maximale de Hardy-Littlewood

• Pour toute application intégrable Modèle:Mvar sur ℝModèle:Exp et tout réel c > 0, on aModèle:Retrait(donc Modèle:Mvar est finie presque partout).
• Pour toute fonction réelle croissante Modèle:Mvar sur un intervalle réel Modèle:Math on a, de façon analogueModèle:RefsouModèle:Retrait
• Pour toute fonction réelle croissante continue Modèle:Mvar sur Modèle:Math,Modèle:Retrait

• Première inégalité.
  Quitte à passer ensuite à la limite quand d → cModèle:Exp, il suffit de montrer queModèle:Retraitet pour cela, par régularité intérieure, de montrer que pour tout compact Modèle:Mvar inclus dans Modèle:Math,Modèle:RetraitPour tout point Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, il existe un rayon Modèle:Math tel queModèle:RetraitPar compacité, Modèle:Mvar est recouvert par un nombre fini de telles boules et l'on peut, d'après le lemme de recouvrement de Vitali dans le cas fini, choisir parmi elles des boules ${(B(x,r_x))}_{x\in X}$ disjointes telles queModèle:RetraitOn a alors :${\lambda }_n\left(K\right)\le {\lambda }_n(\bigcup _{x\in X}B(x,3r_x))\le \sum _{x\in X}{\lambda }_n(B(x,3r_x))=3^n\sum _{x\in X}{\lambda }_n(B(x,r_x))\le \frac{3^n}{d}\sum _{x\in X}\underset{B(x,r_x)}{\int }|f(t)|\mathrm{d}{\lambda }_n(t)\le \frac{3^n\Vert f{\Vert }_1}{d}$car les boules sont disjointes.
• Deuxième inégalité.
  En procédant comme pour la première, il suffit de montrer que pour tout Modèle:Math et tout compact Modèle:Mvar inclus dans Modèle:Math,Modèle:RetraitPour tout point Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, il existe un réel Modèle:Mvar non nul tel queModèle:RetraitNotons alors, pour Modèle:Math fixé, Modèle:Mvar l'intervalle fermé d'extrémités Modèle:Math et Modèle:Math (choisi ainsi pour qu'il contienne Modèle:Mvar et soit un voisinage de Modèle:Mvar).
  Par compacité, Modèle:Mvar est recouvert par une famille finie $(J_x{)}_{x\in X}$ et l'on peut même, en enlevant des Modèle:Mvar superflus, supposer qu'un point n'appartient jamais à plus de deux d'entre eux (car si trois intervalles ont un point commun, l'un des trois est inclus dans la réunion des deux autres). On a alors :$\lambda (K)\le \sum _{x\in X}\lambda (J_x)=(1+\epsilon )\sum _{x\in X}|h_x|\le \frac{1+\epsilon }{d}\sum _{x\in X}|F(x+h_x)-F(x)|\le \frac{1+\epsilon }{d}2(F(b)-F(a)),$la dernière inégalité étant due à la croissance de Modèle:Mvar et au fait que les Modèle:Mvar se chevauchent au plus par deux. Ainsi,$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\lambda (K)\le 2(1+\epsilon )(F(b)-F(a))/d\text{donc}\lambda (K)\le 2(F(b)-F(a))/d.$
• La troisième inégalité peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant et se généraliser en utilisant le théorème de recouvrement de Vitali.

Applications

• Théorème de différentiation de Lebesgue
• Théorème de Rademacher

Généralisation au cas des mesures de Borel

En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel μ sur ℝModèle:Exp la fonction maximale Modèle:Math définie par :

$M\mu (x)=\underset{r>0}{\sup }\frac{\mu (B(x,r))}{{\lambda }_n(B(x,r))}.$

La propriété de semi-continuité inférieure et, si μ est finie, l'inégalité maximale, sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.

Notes et références

• Modèle:Rudin
• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Théorème fondamental de l'analyse
• Point de Lebesgue
• Modèle:Lien