Point de Lebesgue

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, un point Modèle:Math du domaine de définition d'une application Modèle:Math Lebesgue-intégrable sur ℝModèle:Exp est appelé point de Lebesgue lorsque Modèle:Math varie « très peu » au voisinage de Modèle:Math ou de manière plus générale si les moyennes des applications Modèle:Math sur les boules centrées sur Modèle:Math sont « très petites ».

Définition

Plus précisément, on dit que Modèle:Math est un point de Lebesgue de Modèle:Math si

$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\lambda \left(B(x,r)\right)}\underset{B(x,r)}{\int }|f(t)-f(x)|\mathrm{d}\lambda (t)=0,$

où Modèle:Math désigne la boule de ℝModèle:Exp centrée en Modèle:Math et de rayon Modèle:Math et Modèle:Math désigne la mesure de Lebesgue.

Un théorème

Le théorème de différentiation de Lebesgue affirme que si Modèle:Math(ℝ) alors presque tous les points de ℝ sont des points de Lebesgue. Autrement dit l'ensemble des points Modèle:Math ∈ ℝ qui ne sont pas des points de Lebesgue est négligeable.

Application

Une application directe du théorème précédent est une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse :

Si Modèle:Math(ℝ) et $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}\lambda (t)$ alors, en tout point de Lebesgue de Modèle:Math donc presque partout, Modèle:Math est dérivable et Modèle:Math.

Voir aussi

Articles connexes

• Fonction maximale de Hardy-Littlewood
• Oscillation (mathématiques)