Ensemble de sous-niveau

En mathématiques, en particulier en analyse, en analyse convexe, en optimisation et en topologie différentielle (théorie de Morse), un ensemble de sous-niveau d'une fonction définie sur un ensemble $𝔼$ à valeurs dans la droite réelle achevée $\overline{ℝ}$ est l'ensemble des points où elle prend une valeur inférieure à un niveau $\nu \in ℝ$ donné : Modèle:Centrer Un ensemble de sous-niveau particulier est l'ensemble Modèle:Math${}_{x\in 𝔼}f(x)$ des minimiseurs de $f$.

Propriétés

• Une fonction définie sur un espace topologique à valeurs dans $\overline{ℝ}$ est fermée (on dit aussi semi-continue inférieurement) si, et seulement si, tous ses ensembles de sous-niveaux sont fermés.
• Une fonction est quasi-convexe si, et seulement si, tous ses ensembles de sous-niveau sont convexes.

Bibliographie

• Modèle:En J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, Springer, New York, 2000
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