Pôle (mathématiques)

Représentation de la fonction Modèle:Formule avec deux pôles d'ordre 1, en z = Modèle:Formule et z = -Modèle:Formule.

En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction $z\in {ℂ}^{*}\mapsto z^{-n}\in ℂ$, où n est un entier naturel non nul.

Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe.

Définition et propriétés

Soient Modèle:Mvar un ouvert du plan complexe ℂ, Modèle:Mvar un élément de Modèle:Mvar et $f:U\setminus \{a\}\to ℂ$ une fonction holomorphe. On dit que Modèle:Mvar est un pôle de Modèle:Mvar (ou que Modèle:Mvar admet un pôle en Modèle:Mvar) s'il existe une fonction Modèle:Mvar holomorphe sur un voisinage Modèle:Math de Modèle:Mvar telle que $g(a)\ne 0$ et un entier Modèle:Math tels que pour tout Modèle:Mvar dans Modèle:Math on ait

$f(z)=\frac{g(z)}{(z-a{)}^n}$.

Une telle écriture est alors unique et l'entier Modèle:Mvar est appelé lModèle:'ordre du pôle. Un pôle d'ordre Modèle:Math est appelé parfois pôle simple.

Un pôle de Modèle:Mvar est un point en lequel Modèle:Math tend vers l'infini.

Le point Modèle:Mvar est un pôle de Modèle:Mvar si (et seulement si) au voisinage de Modèle:Mvar, Modèle:Mvar n'est pas bornée et Modèle:Math est bornée.

Exemples et contre-exemples

• La fonction

$f(z)=\frac{3}{z}$

a un pôle d'ordre 1 (ou pôle simple) en $z=0$.

• La fonction

$f(z)=\frac{z+2}{(z-5{)}^2(z+7{)}^3}$

a un pôle d'ordre 2 en $z=5$ et un pôle d'ordre 3 en $z=-7$.

• La fonction

$f(z)=\frac{\sin z}{z^3}$

a un pôle d'ordre 2 en $z=0$, car $\sin z$ est équivalent à $z$ au voisinage de $z=0$ (cela se montre par exemple en utilisant la série de Taylor de la fonction sinus à l'origine).

• Contrairement aux apparences, la fonction

$f(z)=\frac{\sin z}{z}$

n'admet pas un pôle en $z=0$, car en raison de l'équivalent évoqué à l'exemple précédent, $f(z)$ est équivalent à 1 au voisinage de $z=0$. En particulier, $f$ reste bornée au voisinage de l'origine, donc $z=0$ n'est pas un pôle de $f$. On peut alors prolonger $f$ en une fonction holomorphe sur $ℂ$ tout entier. On dit que $z=0$ est une singularité effaçable de $f$.

• La fonction

$f(z)=\exp \left(\frac{1}{z}\right)$

n'admet pas un pôle en $z=0$. En effet $f$ et $1/f$ sont toutes les deux non bornées au voisinage de $z=0$. On parle alors de singularité essentielle et non plus de pôle.

Voir aussi

• Zéro (analyse complexe)
• Résidu (analyse complexe)
• Fonction rationnelle