Dérivée logarithmique

En mathématiques et plus particulièrement en analyse et en analyse complexe, la dérivée logarithmique d'une fonction Modèle:Mvar dérivable ne s'annulant pas est la fonction :

$ℒ(f)=\frac{f^{\prime }}{f}$

où Modèle:Mvar est la dérivée de Modèle:Mvar.

Lorsque la fonction Modèle:Mvar est à valeurs réelles strictement positives, la dérivée logarithmique coïncide avec la dérivée de la composée $\ln \circ f$ de Modèle:Mvar par la fonction logarithme Modèle:Math, comme le montre la formule de la dérivée d'une composée de fonctions.

Formules

Les relations qui suivent découlent de la définition (mais on peut également les obtenir en utilisant les propriétés du logarithme) : partant de la formule classique de Leibniz : $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, il vient

$ℒ(uv)=\frac{(uv{)}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }v+u{v}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }}{u}+\frac{v^{\prime }}{v}=ℒ(u)+ℒ(v),$

qui exprime que la « dérivée logarithmique d'un produit est égale à la somme des dérivées logarithmiques des facteurs ».

De même, partant de la formule de dérivée d'un quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, on obtient :

$ℒ(u/v)=\frac{v(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })}{u{v}^2}=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }}{u}-\frac{v^{\prime }}{v}=ℒ(u)-ℒ(v),$

et partant de $(u^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha u^{\prime }{u}^{\alpha -1}$, on obtient

$ℒ(u^{\alpha })=\alpha ℒ(u)$.

La formule initiale est applicable à un produit de n fonctions dérivables sur un même intervalle $I$ de $ℝ$ et à valeurs dans ${ℝ}^{*}$ telle que :

$ℒ(f_1{f}_2{f}_3...f_n)=\frac{(f_1{f}_2{f}_3..f_n{)}^{\prime }}{f_1{f}_2{f}_3..f_n}=\frac{{f_1}^{\prime }}{f_1}+\frac{{f_2}^{\prime }}{f_2}+\frac{{f_3}^{\prime }}{f_3}+...+\frac{{f_n}^{\prime }}{f_n}=ℒ(f_1)+ℒ(f_2)+ℒ(f_3)+...+ℒ(f_n)$

soit :

$ℒ\left(\prod _{k=1}^n{f}_k\right)=\sum _{k=1}^nℒ(f_k).$

Facteurs intégrants

L'idée de la dérivée logarithmique est assez proche de celle de la méthode des facteurs intégrants, pour les équations différentielles du premier ordre. En termes d'opérateur, on écrit l'opérateur de différentiation

$D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$

et soit Modèle:Mvar l'opérateur de multiplication par une fonction Modèle:Mvar donnée. Alors

$M^{-1}DM$

peut être écrit (d'après la règle de dérivation d'un produit) sous la forme

$D+M^{*}$

où Modèle:Math désigne l'opérateur de multiplication par la dérivée logarithmique de Modèle:Mvar, c'est-à-dire par

$\frac{G{}^{\prime }}{G}$

Souvent, on donne un opérateur tel que

$D+F=L$

et il faut résoudre l'équation

$L(h)=f$

d'inconnue Modèle:Mvar, Modèle:Mvar étant donnée. Cela amène à résoudre

$\frac{G{}^{\prime }}{G}=F$

qui a pour solution

$\exp \circ \int F$

où $\int F$ est une primitive quelconque de Modèle:Mvar.

Analyse complexe

La définition peut être étendue à d'autres fonctions et par exemple si Modèle:Mvar est une fonction méromorphe, alors la définition a un sens en tous les nombres complexes qui ne sont ni des zéros de Modèle:Mvar, ni des pôles de Modèle:Mvar. De plus en un zéro ou un pôle, la dérivée logarithmique s'analyse à partir du cas particulier de $z\mapsto z^n$ où Modèle:Mvar est un entier non nul. Dans ce cas, la dérivée logarithmique est égale à $z\mapsto \frac{n}{z}$.

Et on peut en déduire que de façon générale pour une fonction méromorphe Modèle:Mvar, toutes les singularités de la dérivée logarithmique de Modèle:Mvar sont des pôles simples, de résidu Modèle:Mvar d'un zéro d'ordre Modèle:Mvar, de résidu Modèle:Mvar d'un pôle d'ordre Modèle:Mvar. Ce fait est souvent exploité dans les calculs d'intégrales de contour.

La dérivée logarithmique est centrale dans l'énoncé du principe de l'argument.

Dérivée logarithmique et forme invariante sur le groupe multiplicatif d'un corps

Derrière l'utilisation des dérivées logarithmiques se cachent deux faits importants concernant [[Groupe linéaire|GLModèle:Ind]], le groupe multiplicatif des réels ou d'un corps commutatif quelconque. L'opérateur différentiel $X^{-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X}$ est invariant par translation (ne change pas lorsqu'on remplace Modèle:Mvar par Modèle:Mvar, Modèle:Mvar étant une constante), et la forme différentielle $\frac{\mathrm{d}X}{X}$ est de même invariante. Pour une fonction Modèle:Mvar à valeurs dans GLModèle:Ind, la forme différentielle $\frac{\mathrm{d}F}{F}$ est ainsi le pullback de cette forme invariante.

De même, la dérivée logarithmique peut être définie dans tout corps différentiel ; c'est le point de départ d'une partie de la théorie de Galois différentielle.