Opérateur différentiel

En mathématiques, et plus précisément en analyse, un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

• Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
• Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

Un opérateur différentiel agissant sur deux fonctions $D(f,g)$ est appelé opérateur bidifférentiel.

Exemples

L'opération différentielle la plus commune consiste simplement à prendre la dérivée de la grandeur considérée. Les notations usuelles pour désigner la dérivée première par rapport à une variable Modèle:Mvar sont par exemple :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ ou ${\partial }_x$, ou encore $D$ ou $D_x$.

La notation en D est attribuée à Oliver Heaviside, qui l'a introduite dans son étude des équations différentielles pour noter des opérateurs différentiels de la forme :

$\sum _{k=0}^n{c}_k{D}^k$

Pour des dérivées d'ordre n supérieur, ces mêmes opérateurs peuvent s'écrire :

$\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}$, $\underset{x^n}{\overset{n}{\partial }}$ ou encore $D_x^n$

La notation en "prime" s'utilise plutôt pour exprimer la valeur que prend une fonction dérivée f pour un argument x :

$f^{\prime }(x)$, ou : $[f(x){]}^{\prime }$

Deux opérateurs différentiels particulièrement fréquents sont l'opérateur nabla, défini dans une base cartésienne $({𝐢}_1,...,{𝐢}_n)$, par :

$\mathrm{\nabla }=\sum _{k=1}^n\frac{\partial }{\partial x_k}{𝐢}_k,$

ainsi que l'opérateur laplacien, défini par :

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2=\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_k^2}.$

Un autre opérateur utilisé en physique est l'opérateur Θ, dont les vecteurs propres sont les monômes homogènes, défini par

$\mathrm{\Theta }=z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}$ ou, dans le cas de plusieurs variables, $\mathrm{\Theta }=\sum _{k=1}^n{x}_k\frac{\partial }{\partial x_k}.$

Notations

Soit $\mathrm{\Omega }$ un ouvert de ${ℝ}^n$, et $x$ un point de $\mathrm{\Omega }$. On introduit les $n$ coordonnées $x_k(k=1,...,n)$. Supposons que l'on ait une fonction des $n$ variables $x_k$.

Dérivées du premier ordre

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée $x_k$ par le symbole :

${\partial }_k=\frac{\partial }{\partial x_k}$

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel ${\mathrm{D}}_k$ du premier ordre défini par :

${\mathrm{D}}_k=-\mathrm{i}{\partial }_k=-\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial x_k}$

Dans cette définition, $\mathrm{i}$ est la « racine de l'unité » complexe : ${\mathrm{i}}^2=-1$. L'intérêt de définir cet opérateur ${\mathrm{D}}_k$ apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice $\alpha$ est un $n$-uplet d'entiers

$\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n);{\alpha }_k\in \mathbb{N}$

Sa longueur $|\alpha |$ est définie comme la somme des ${\alpha }_i$ et on définit enfin la multi-factorielle :

$\alpha !=\prod _{k=1}^n({\alpha }_k!)={\alpha }_1!\times \dots \times {\alpha }_n!$

Dérivées d'ordres plus élevés

• La dérivée partielle d'ordre ${\alpha }_k$ par rapport à la coordonnée $x_k$ correspond au symbole :

$\underset{k}{\overset{{\alpha }_k}{\partial }}$

• On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global $|\alpha |$ :

${\partial }^{\alpha }=\underset{1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\dots \underset{n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}$

• Et les opérateurs différentiels ${\mathrm{D}}^{\alpha }$, d'ordre global $|\alpha |$  :

${\mathrm{D}}^{\alpha }={\mathrm{D}}_1^{{\alpha }_1}\dots {\mathrm{D}}_n^{{\alpha }_n}$

Définition d'un opérateur différentiel

Définition

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre $m$ est défini par : Modèle:Bloc emphase où les $a_{\alpha }(x)$ sont des fonctions de $n$ variables, appelées coefficients de l'opérateur $𝔇$.

Propriété de localité

Un opérateur différentiel $𝔇$ est local au sens où, pour déterminer ses effets $𝔇f(x)$ sur une fonction $f(x)$ suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point $x$ est nécessaire.

Transformée de Fourier

Introduction de la transformée de Fourier

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction $f(x)$ de $n$ variables $x_k(k=1,...,n)$ par : Modèle:Bloc emphase

Dans cette définition :

• on note $\xi$ le $n$-uplet constitué des variables : ${\xi }_k(k=1,...,n)$.
• la mesure est : $\mathrm{d}x=\prod _{k=1}^n\mathrm{d}{x}_k$.
• le facteur $⟨\xi ,x⟩$ dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire :$⟨\xi ,x⟩=\sum _{k=1}^n{x}_k{\xi }_k$.

La formule de transformation inverse s'écrit alors : Modèle:Bloc emphase où la mesure est : $\mathrm{d}\tilde{\xi }=\frac{\mathrm{d}\xi }{(2\pi {)}^n}$ avec $\mathrm{d}\xi =\prod _{k=1}^n\mathrm{d}{\xi }_k$.

Application aux opérateurs différentiels

On applique l'opérateur différentiel ${\mathrm{D}}_k=-\mathrm{i}{\partial }_k$ à la représentation de Fourier de la fonction $f$. En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

${\mathrm{D}}_{k}f(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\xi }(-\mathrm{i}{\partial }_k{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩})\hat{f}(\xi )=\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\xi }{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩}{\xi }_k\hat{f}(\xi )$

qu'on peut écrire : $(\widehat{{\mathrm{D}}_{k}f})(\xi )={\xi }_k\hat{f}(\xi )$. On en déduit que :

$(\widehat{{\mathrm{D}}^{\alpha }f})(\xi )={\xi }^{\alpha }\hat{f}(\xi )$

où : ${\xi }^{\alpha }={\xi }_1^{{\alpha }_1}\times \dots \times {\xi }_n^{{\alpha }_n}$. L'opérateur différentiel $𝔇$ d'ordre $m$ vérifie donc la relation :

$(𝔇f)(x)=\sum _{|\alpha |=0}^m{a}_{\alpha }(x)\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\xi }{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩}{\xi }^{\alpha }\hat{f}(\xi )$

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire : Modèle:Bloc emphase

Symbole d'un opérateur différentiel

On appelle symbole de l'opérateur différentiel $𝔇$ d'ordre $m$ la fonction $\sigma (x,\xi )$ des $2n$ variables $(x,\xi )$ polynomiale en $\xi$ de degré $m$ : Modèle:Bloc emphase de telle sorte que : Modèle:Bloc emphase

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur $𝔇$ à partir de son symbole $\sigma$. Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a_{\alpha }(x)$ ne sont pas constants, le symbole $\sigma (x,\xi )$ dépend des coordonnées d'espace $x$, et l'expression $\sigma (x,\xi )\hat{f}(\xi )$ n'est pas la transformée de Fourier de $(𝔇f)(x)$, c’est-à-dire que :

$(\widehat{𝔇f})(\xi )\ne \sigma (x,\xi )\hat{f}(\xi )$

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

Symbole principal d'un opérateur différentiel

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel $𝔇$ d'ordre $m$ la fonction  :

${\sigma }_m(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}{a}_{\alpha }(x){\xi }^{\alpha }$

Classification des opérateurs différentiels

Opérateur elliptique

L'opérateur différentiel $𝔇$ est dit elliptique au point $x\in \mathrm{\Omega }$ si et seulement si : Modèle:Bloc emphase

$𝔇$ est dit elliptique dans $\mathrm{\Omega }$ s'il est elliptique pour tout point $x\in \mathrm{\Omega }$.

Opérateur hyperbolique

L'opérateur différentiel $𝔇$ est dit hyperbolique dans la direction $\eta$ au point $x\in \mathrm{\Omega }$ si et seulement si : ${\sigma }_m(x,\eta )\ne 0$ et si, pour tout $\xi$ non colinéaire à $\eta$, les racines ${\lambda }_i$ de l'équation : Modèle:Bloc emphase sont toutes réelles. Si, de plus, les $m$ racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur $𝔇$ est dit strictement hyperbolique dans la direction $\eta$.

$𝔇$ est dit (strictement) hyperbolique dans la direction $\eta$ dans $\mathrm{\Omega }$ s'il est strictement hyperbolique dans la direction $\eta$ pour tout point $x\in \mathrm{\Omega }$.

Exemples importants pour la physique théorique

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

Opérateur laplacien

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

• en coordonnées cartésiennes dans ${ℝ}^n$ :

  $\mathrm{\Delta }=\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_k^2}$

• soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :

  $\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

Opérateur d'alembertien

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x,t)$ dans ${ℝ}^{n+1}$ :

$◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\mathrm{\Delta }$

où $\mathrm{\Delta }$ est le laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et $c$ une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse $c$ dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

Opérateur de la chaleur

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x,t)$ dans ${ℝ}^{n+1}$ :

$\frac{\partial }{\partial t}-\tilde{D}\mathrm{\Delta }$

où $\mathrm{\Delta }$ est le laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et $\tilde{D}$ est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients $a_{\alpha }$ sont indépendants des $n$ variables d'espace $x^k$, le symbole de l'opérateur différentiel $𝔇$ d'ordre $m$ est seulement une fonction $\sigma (\xi )$ des $n$ variables $\xi$ polynomiale en $\xi$ : Modèle:Bloc emphase de telle sorte que :

$(\widehat{𝔇f})(\xi )=\sigma (\xi )\hat{f}(\xi )$

Le symbole principal de l'opérateur différentiel $𝔇$ d'ordre $m$ à coefficients constants est la fonction des $n$ variables $\xi$ :

${\sigma }_m(\xi )=\sum _{|\alpha |=m}{a}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }$

Cas général

On a vu que plus haut : Modèle:Bloc emphase

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a_{\alpha }(x)$ ne sont pas constants, le symbole $\sigma (x,\xi )$ dépend des coordonnées d'espace $x$, et on a  :

$(\widehat{𝔇f})(\xi )\ne \sigma (x,\xi )\hat{f}(\xi )$

Expression de la transformée de Fourier

Partons de la relation générale :

$(𝔇f)(x)=\sum _{|\alpha |=0}^m{a}_{\alpha }(x)\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\xi }{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩}{\xi }^{\alpha }\hat{f}(\xi )$

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

$a_{\alpha }(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\eta }{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}⟨\eta ,x⟩}{\hat{a}}_{\alpha }(\eta )$

on obtient :

$(𝔇f)(x)=\sum _{|\alpha |=0}^m\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\eta }{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}⟨\eta ,x⟩}{\hat{a}}_{\alpha }(\eta )\times \underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\xi }{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩}{\xi }^{\alpha }\hat{f}(\xi )$

soit :

$(𝔇f)(x)=\sum _{|\alpha |=0}^m\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\eta }\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\xi }{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩}{\hat{a}}_{\alpha }(\eta ){\xi }^{\alpha }\hat{f}(\xi )$

A $\xi$ fixé, on fait le changement de variable : $\eta \to t=\xi +\eta$, ce qui donne :

$(𝔇f)(x)=\sum _{|\alpha |=0}^m\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{t}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩}\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\xi }{\hat{a}}_{\alpha }(t-\xi ){\xi }^{\alpha }\hat{f}(\xi )$

On reconnait le produit de convolution :

$({\hat{a}}_{\alpha }*{\xi }^{\alpha }\hat{f})(t)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{\xi }{\hat{a}}_{\alpha }(t-\xi ){\xi }^{\alpha }\hat{f}(\xi )$

d'où :

$(𝔇f)(x)=\sum _{|\alpha |=0}^m\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{d}\tilde{t}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩}({\hat{a}}_{\alpha }*{\xi }^{\alpha }\hat{f})(t)$

qu'on peut réécrire : Modèle:Bloc emphase

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:En Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
• Modèle:En Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
• Modèle:En Yu. V. Egorov et Modèle:Lien, Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Modèle:2e éd., 1998 Modèle:ISBN. Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l'Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
• Modèle:En Modèle:Lien, Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (Modèle:N°), Springer-Verlag, Modèle:2e éd., 1999 Modèle:ISBN. Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

Articles connexes

• Opérateur pseudo-différentiel
• Dérivée partielle
• Équation aux dérivées partielles
• Principe fondamental d'Ehrenpreis