Opérateur pseudo-différentiel

En analyse mathématique, un opérateur pseudo-différentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-différentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs.

Rappels et notations

On reprend ci-dessous les notations introduites dans l'article opérateur différentiel.

Opérateur différentiel

Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre $m$ s'écrit :

$𝔇=\sum _{|\alpha |=0}^m{a}_{\alpha }(x)D^{\alpha }$

où les $a_{\alpha }(x)$, appelées coefficients de l'opérateur $𝔇$, sont des fonctions des $n$ variables d'espace $x^k,k=1,\dots ,n$.

Introduction de la transformée de Fourier

Définition

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction $f$ de $n$ variables par :

$\hat{f}(\xi )=\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi \cdot x}f(x)\mathrm{d}x$.

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

$f(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^n}\int {\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}\xi \cdot x}\hat{f}(\xi )\mathrm{d}\xi$.

Application aux opérateurs différentiels

Le symbole de l'opérateur différentiel $𝔇$ d'ordre $m$ est la fonction $\sigma (x,\xi )$ des $2n$ variables $(x,\xi )$ polynomiale en $\xi$ :

$\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^m{a}_{\alpha }(x){\xi }^{\alpha }$.

L'opérateur différentiel $𝔇$ linéaire d'ordre $m$ vérifie alors la relation :

$(𝔇f)(x)=\int \frac{\mathrm{d}\xi }{(2\pi {)}^n}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}\xi \cdot x}\sigma (x,\xi )\hat{f}(\xi )$.

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur $𝔇$ à partir de son symbole $\sigma (x,\xi )$. Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.

Introduction : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients $a_{\alpha }$ de l'opérateur différentiel $𝔇$ d'ordre $m$ sont indépendants des $n$ variables d'espace $x^k$, son symbole est seulement une fonction $\sigma (\xi )$ des $n$ variables $\xi$ polynomiale en $\xi$ :

$\sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^m{a}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }$

de telle sorte que :

$(𝔇f)(x)=\int \frac{\mathrm{d}\xi }{(2\pi {)}^n}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}\xi x}\sigma (\xi )\hat{f}(\xi )$

soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse :

$(\widehat{𝔇f})(\xi )=\sigma (\xi )\hat{f}(\xi )$.

Définition : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Soit une fonction $p$ des $n$ variables $\xi$. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel $P_D$ à coefficients constants, dont l'action sur une fonction $f$ est définie par l'intégrale suivante :

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole $p(\xi )$ présente quelques « bonnes » propriétés :

• la fonction $p(\xi )$ doit être lisse ;
• la fonction $p(\xi )$ doit avoir une croissance tempérée lorsque $|\xi |\to \mathrm{\infty }$, cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre $m$, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre $m$ tel que :

$\mathrm{\forall }\alpha |\underset{\xi }{\overset{\alpha }{\partial }}p(\xi )|\le C_{\alpha }{(1+|\xi |)}^{m-|\alpha |}$

où les $C_{\alpha }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $\alpha$.

Calcul symbolique exact

Soient $P_1$ et $P_2$ deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivement par les symboles $p_1(\xi )$ et $p_2(\xi )$. Alors, l'opérateur $P=P_1{P}_2$ est encore un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont le symbole est le produit $p_1(\xi )p_2(\xi )$.

Opérateur pseudo-différentiel : cas général

Définition

Soit une fonction $p(x,\xi )$ des $2n$ variables $(x,\xi )$. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel $P_D$, dont l'action sur une fonction $f$ est définie par l'intégrale suivante :

Remarque : on note parfois cet opérateur pseudo-différentiel à partir de son symbole de la façon suivante : $P_D=p(x,D)$.

Il existe une autre définition, celle de Weyl :

Propriétés requises du symbole

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole $p(x,\xi )$ présente quelques « bonnes » propriétés, énoncées ci-dessous :

• la fonction $p(x,\xi )$ doit avoir une croissance tempérée lorsque $|\xi |\to \mathrm{\infty }$, cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre $m$, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre $m$ tel que $\mathrm{\forall }\alpha |\underset{\xi }{\overset{\alpha }{\partial }}p(x,\xi )|\le C_{\alpha }{(1+|\xi |)}^{m-|\alpha |}$ où les $C_{\alpha }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $\alpha$ ;
• la fonction $p(x,\xi )$ doit avoir une variation lente dans les variables d'espace $x$. On demande explicitement que $\mathrm{\forall }\alpha ,|\underset{x}{\overset{\alpha }{\partial }}p(x,\xi )|\le C_{\alpha }{(1+|\xi |)}^m$.

Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule, utilisée ci-dessous pour définir plus précisément la classe des symboles d'ordre $m$.

Classe des symboles d'ordre m

Soit $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ un compact, et $p(x,\xi )$ une fonction lisse de ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }\times {ℝ}^n)$. Soit $m$ un nombre réel quelconque. La classe $S^m(\mathrm{\Omega }\times {ℝ}^n)$ des symboles d'ordre $m$ est définie par :

$S^m(\mathrm{\Omega }\times {ℝ}^n)=\{p(x,\xi )\mid |\underset{\xi }{\overset{\alpha }{\partial }}\underset{x}{\overset{\beta }{\partial }}p(x,\xi )|\le C_{\alpha ,\beta ,\mathrm{\Omega }}{(1+|\xi |)}^{m-|\alpha |}\}$

pour tout $x\in \mathrm{\Omega }$, $\xi \in {ℝ}^n$, et pour tous les multi-indices $\alpha ,\beta$. Les $C_{\alpha ,\beta ,\mathrm{\Omega }}$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $\alpha ,\beta$ et $\mathrm{\Omega }$.

Remarque : lorsque la mention du compact $\mathrm{\Omega }$ est indifférente, on note simplement : $S^m=S^m(\mathrm{\Omega }\times {ℝ}^n)$.

On note souvent ${\mathrm{\Psi }}^m$ l'ensemble des opérateurs pseudo-différentiels à symbole dans $S^m$

Propriété de pseudo-localité

Support singulier d'une distribution

On appelle support singulier d'une distribution $u$ le complémentaire de l'ensemble des points au voisinage desquels $u$ est une fonction $C^{\mathrm{\infty }}$. Modèle:...

Calcul symbolique

Soient $p_j,(j=1,2)$ des éléments de $S^{m_j}({ℝ}^n\times {ℝ}^n)$. Alors l'opérateur $p_1(x,D)\circ p_2(x,D)$ est aussi un opérateur pseudo-différentiel, dont le symbole, qui appartient à $S^{m_1+m_2}$ est donné par une somme asymptotique dont le premier terme est $p_1(x,\xi )p_2(x,\xi )$

Continuité dans les espaces de Sobolev

On note $H^s({ℝ}^n)$ l'espace de Sobolev standard d'ordre $s$ sur ${ℝ}^n$. Soient $s$ et $m$ deux nombres réels. Un opérateur pseudo-différentiel d'ordre $m$ sur ${ℝ}^n$ (Modèle:C.-à-d. un élément de ${\mathrm{\Psi }}^m$) est continu de $H^s({ℝ}^n)$ dans $H^{s-m}({ℝ}^n)$.

Propriété de pseudo-localité

Soit $a\in S^m$ et soit $K$ le noyau de $a(x,D)$. Alors $K$ est $C^{\mathrm{\infty }}$ pour $x\ne y$. En particulier, pour toute distribution tempérée $u$, supp sing $a(x,D)u\subset$ supp sing $u$.

Bibliographie

• Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, coll. « Savoirs actuels », EDP Sciences/CNRS éditions, 1991 Modèle:ISBN. Issu d’un cours professé à l’École normale supérieure dans le cadre du magistère de mathématiques, ce livre s’adresse aux étudiants de troisième cycle de mathématiques désireux d’acquérir une formation de base en analyse.
• Jacques Chazarain et Alain Piriou, Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires, Gauthier-Villars, 1981 Modèle:ISBN.
• Modèle:En Yu. V. Egorov et Modèle:Lien, Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Modèle:2e éd., 1999 Modèle:ISBN. Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Modèle:2e éd., 1998 Modèle:ISBN.
• Modèle:En Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume III est sous-titré : Pseudo-Differential Operators, et le volume IV : Fourier Integral Operators.
• Modèle:En Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
• Modèle:En Nicolas Lerner, Metrics on the phase space and non-selfadjoint pseudo-differential operators, Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications, 3. Birkhäuser Verlag, Basel, 2010.
• Modèle:En M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag, 2001 Modèle:ISBN.
• Modèle:En Modèle:Lien, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press, 1981 Modèle:ISBN.
• Modèle:En Michael E. Taylor, Partial Differential Equations II - Qualitative Studies of Linear Equations, coll. « Applied Mathematical Sciences » (Modèle:N°), Springer-Verlag, Modèle:2e éd., 1997 Modèle:ISBN. Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (Modèle:N°), Springer-Verlag, Modèle:2e éd., 1999 Modèle:ISBN.
• Modèle:En Michael E. Taylor, Partial Differential Equations III - Nonlinear Equations, coll. « Applied Mathematical Sciences » (Modèle:N°), Springer-Verlag, Modèle:2e éd., 1997 Modèle:ISBN.
• Modèle:En François Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, coll. « University Series in Mathematics », Plenum Publ., 1981 Modèle:ISBN.
• Modèle:En André Unterberger, Pseudo-differential operators and applications: an introduction, Lecture Notes Series, 46. Aarhus Universitet, Matematisk Institut, Aarhus, 1976.

Liens externes

• Modèle:Lien web.