Série d'Eisenstein

Modèle:À sourcer Modèle:Ébauche En mathématiques, les séries d'Eisenstein désignent certaines formes modulaires dont le développement en série de Fourier peut s'écrire explicitement.

Séries d'Eisenstein du groupe modulaire

G₄

G₆

G₈

Pour tout entier k ≥ 2, la série d'Eisenstein GModèle:Ind est la fonction holomorphe sur le demi-plan des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive définie par

C'est une forme modulaire de poids 2k, propriété incluant que pour tous entiers relatifs Modèle:Math tels que Modèle:Math,

Relations de récurrence

Toute forme modulaire holomorphe pour le groupe modulaire peut être écrite comme polynôme en GModèle:Ind et GModèle:Ind grâce à la relation de récurrence suivante (qui fait intervenir des coefficients binomiaux) : Modèle:Retrait

Les Modèle:Math apparaissent dans le développement en série entière de la fonction de Weierstrass : Modèle:Retrait

Séries de Fourier

Série de Eisenstein G₁₀

Posons $q={\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\tau }$. Alors les séries de Fourier des séries d'Eisenstein sont : Modèle:Retrait où les coefficients de Fourier Modèle:Math sont donnés par : Modèle:Retrait les Modèle:Math désignant les nombres de Bernoulli, Modèle:Math la fonction zêta de Riemann et Modèle:Math la somme des puissances p-ièmes des diviseurs de n. En particulier, Modèle:Retrait La somme sur q se resomme en une série de Lambert : Modèle:Retrait pour tout nombre complexe q de module strictement inférieur à 1.

Identités de Ramanujan

Ramanujan a donné de nombreuses identités intéressantes entre les tout premiers termes : pour Modèle:Retrait on a Modèle:Retrait