Fonction êta de Dedekind

Modèle:Voir homonymes La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive.

Pour un tel nombre complexe $\tau$, on pose $q={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi \tau }$ et la fonction êta est alors : $\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n)$, en posant $q^{1/24}=\exp \left(\frac{\mathrm{i}\pi \tau }{12}\right)$.

Propriétés

La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.

La fonction êta vérifie les deux équations fonctionnelles

$\eta (\tau +1)=\exp \left(\frac{\mathrm{i}\pi }{12}\right)\eta (\tau )$

et

$\eta (-\frac{1}{\tau })=\frac{\sqrt{\tau }}{\sqrt{i}}\eta (\tau )$.

La seconde se généralise : soient $a,b,c,d$ des entiers tels que $ad-bc=1$ (donc associés à une transformation de Möbius appartenant au groupe modulaire), avec $c>0$. Alors

$\eta \left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=ϵ(a,b,c,d)\frac{\sqrt{c\tau +d}}{\sqrt{\mathrm{i}}}\eta (\tau )$

où

$ϵ(a,b,c,d)=\exp \left\{\mathrm{i}\pi (\frac{a+d}{12c}+s(-d,c))\right\}$

et $s$ est la fonction somme de Dedekind :

$s(h,k)=\sum _{1\le n<k}\frac{n}{k}(\frac{hn}{k}-\lfloor \frac{hn}{k}\rfloor -\frac{1}{2})$.

À cause des équations fonctionnelles, la fonction êta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s'en servir pour définir d'autres formes modulaires.

En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass, forme modulaire de poids 12, peut être défini comme

$\mathrm{\Delta }(\tau )=(2\pi {)}^{12}\eta (\tau {)}^{24}$ (certains auteurs omettent le facteur $(2\pi {)}^{12}$, pour que la série soit à coefficients entiers).

La fonction d'Euler

$\varphi (q)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n)=q^{-1/24}\eta (\tau )$

a un développement en série donné par l'identité d'Euler :

$\varphi (q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{(3n^2-n)/2}$.

Comme la fonction êta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions êta. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.

Notes et références

• Modèle:Serre1
• Modèle:Ouvrage

Voir aussi

Articles connexes

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Liens externes

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