Exposant (mathématiques)

Modèle:Voir homonymes Modèle:Sources En mathématiques, l'opération puissance consiste à multiplier un élément $a$ par lui-même plusieurs fois de suite. Le nombre de facteurs intervenant dans cette opération est noté en exposant de l'élément $a$ (c'est-à-dire à la suite de $a$, légèrement décalé vers le haut à droite et en réduisant sa taille). Pour cette raison, ce nombre de facteurs est encore appelé exposant de l'opération puissance.

Ainsi, si n est un entier naturel supérieur ou égal à un, on écrit :

$a^n=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{n\text{ facteurs}}{n-1\text{ signes }\times }}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}=\prod _{i=1}^{n}a$

qui est lu « a puissance n » ou « a exposant n ».

Dans ce qui précède l'élément $a$ peut bien sûr être un nombre, mais aussi n'importe quel élément pour lequel on peut effectuer une opération associative notée multiplicativement $a\times a$ de $a$ par lui-même (voir les exemples ci-dessous).

Cette notion de puissance peut être étendue à des exposants entiers relatifs (c'est-à-dire positifs ou nuls ou négatifs), pourvu que les éléments (non nuls) de l'ensemble considéré soient inversibles (voir ci-dessous la section Extension à des exposants négatifs).

Il existe des algorithmes permettant de calculer une puissance, de façon plus efficace que par la méthode naïve consistant à le multiplier par lui-même plusieurs fois : voir exponentiation rapide.

Cas particuliers

$a^2=a\times a$

est appelé le carré de $a$, car l'aire d'un carré de côté $a$ est $a^2$.

$a^3=a\times a\times a$

est appelé le cube de $a$, car le volume d'un cube de côté $a$ est $a^3$.

En outre, par convention :

$a^1=a$

et, si $a$ est inversible (voir ci-dessous) :

$a^0=1$

Notons que :

• Dans cette dernière convention $1$ représente l'élément neutre pour la multiplication considérée.
• La raison de ces deux conventions est de permettre que les théorèmes ci-dessous soient valables aussi pour ces valeurs d'exposants.

Extension à d'autres structures

La notion de puissance peut être définie naturellement dans un monoïde (l'opération étant notée multiplicativement) ou plus généralement, dans un magma associatif des puissances.

Quelques exemples suivent.

Nombres réels (pour le produit de nombres)

La notion de puissance d'un nombre est la plus connue et la plus utilisée.

Matrices (pour le produit de matrices)

Pour qu'une matrice soit multipliable par elle-même, il faut et il suffit que ce soit une matrice carrée (c'est-à-dire qu'elle ait autant de lignes que de colonnes).

Soit par exemple la matrice carrée d'ordre 2 suivante :

$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$

alors

$A^2=A\times A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ 5& 8\end{array}\right)$

puis

$A^3=A^2\times A=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ 5& 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -18\\ 18& 19\end{array}\right)$

et ainsi de suite...

Fonctions (pour la composition)

La composition de fonctions est notée par le symbole $\circ$, $f\circ g$ se lit f rond g.

Pour qu'une fonction $f$ soit composable par elle-même (autrement dit pour qu'on puisse définir $f\circ f$) , il faut que ce soit une fonction d'un ensemble dans lui-même.

Soit par exemple la fonction $f$ définie de $ℝ$ dans $ℝ$ par $f:$ Modèle:Nobr

Alors $f^2=f\circ f:x\mapsto 2(2x+3)+3=4x+9$

puis $f^3=f^2\circ f:x\mapsto 4(2x+3)+9=8x+21$

et ainsi de suite...

Ensembles (pour le produit cartésien)

Le produit cartésien d'un ensemble $E$ par lui-même existe toujours : il s'agit de l'ensemble des couples d'éléments de $E$. On notera donc

$E^2=E\times E$

cet ensemble de couples, et plus généralement

$E^n=\underset{n\mathrm{facteurs}}{\underbrace{E\times \cdots \times E}}$

l'ensemble des [[n-uplet|Modèle:Mvar-uplets]] d'éléments de $E$.

Voir aussi : Exponentiation ensembliste.

Extension à des exposants négatifs

Pour que le deuxième théorème ci-dessous reste valable lorsque $n-m$ est négatif, on a été conduit à donner la double définition (convention de notation) suivante pour les exposants négatifs :

Si $a$ est un élément inversible, on note $a^{-1}$ son inverse.

Si en outre $n$ est un entier naturel, alors $a^n$ est aussi inversible, et l'on note $a^{-n}$ son inverse.

Avec cette définition, les autres théorèmes ci-dessous restent valables également.

Exemples

Reprenons les exemples donnés plus haut :

Nombres

Parmi les nombres réels, les éléments inversibles sont les éléments non nuls et l'inverse d'un nombre $a$ est encore noté $\frac{1}{a}$.

Alors $a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a\times ...\times a}$

Matrices

Une matrice $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Sa matrice inverse $A^{-1}$ est telle que $A\times A^{-1}=A^{-1}\times A=I$

avec $I$ matrice ne comportant que des 1 dans la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.

Par exemple à l'ordre deux, $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Voir matrice inverse pour plus de détails.

Fonctions

Une fonction $f$ est inversible si et seulement si elle possède une fonction réciproque, c'est-à-dire une fonction $f^{-1}$ telle que $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id$.

Ensembles

Aucun ensemble n'est inversible pour le produit cartésien (en fait il n'y a pas d'élément neutre, donc la notion d'inversibilité n'a pas de sens dans ce cas).

Théorèmes

Dans les théorèmes essentiels qui suivent $a$, $b$... désignent des éléments d'un même ensemble et tels qu'ils soient multipliables par eux-mêmes et multipliables entre eux, tandis que $m$,$n$... désignent (a priori) des entiers strictement positifs.

En outre $a$ (ainsi que $b$ dans le dernier théorème) doit être inversible, s'il intervient dans une puissance à exposant négatif.

Histoire

Dans la première partie du livre premier de sa Théorie analytique des probabilité, Laplace présente l'histoire heureuse de cette notation : Modèle:Citation bloc Modèle:Citation bloc Modèle:Citation bloc Modèle:Citation bloc Modèle:Citation bloc

Notes et références

Références

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