Produit infini de Cantor

En mathématiques, le produit infini de Cantor est un produit infini particulier défini par récurrence permettant d'exprimer tout nombre réel strictement supérieur à 1. Il a été introduit par Georg Cantor en 1869 .

Énoncé du théorème de décomposition

Tout nombre réel Modèle:Math strictement plus grand que 1 s'exprime, de manière unique, sous la forme d'un produit infini de Cantor :

$x_0=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{a_n}),$

où les

$a_n$

sont des entiers naturels non nuls, vérifiant pour tout naturel Modèle:Mvar

$a_{n+1}⩾a_n^2$

, et

$a_n⩾2$

pour Modèle:Mvar assez grandsModèle:,.

Construction du produit

On définit les nombres suivants, où $\lfloor x\rfloor$ représente la partie entière de Modèle:Mvar :

$a_0=\lfloor \frac{x_0}{x_0-1}\rfloor ,x_1=\frac{x_0}{1+\frac{1}{a_0}}$.

De $a_0+1>\frac{x_0}{x_0-1}$ on déduit aisément que Modèle:Math. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :

$a_n=\lfloor \frac{x_n}{x_n-1}\rfloor ,x_{n+1}=\frac{x_n}{1+\frac{1}{a_n}}$.

Exemples

• Pour tout entier $a⩾2$, $\frac{a}{a-1}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{a^{2^n}})$ ; la suite $(a_n)=(a^{2^n})$ vérifie bien $a_{n+1}=a_n^2$.
• $\sqrt{2}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{a_n})=(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{17})(1+\frac{1}{577})\cdots$, avec $a_0=3$ et $a_{n+1}=2a_n^2-1$ , voir la Modèle:OEIS.

D'après le théorème précédent, on voit donc que Modèle:Sqrt est un nombre irrationnel (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer)Modèle:,.

• Plus généralement, Pour tout entier $a⩾2$, $\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{a_n})$, avec $a_0=a$ et $a_{n+1}=2a_n^2-1$ Modèle:,.

L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.

Articles connexes

• Fraction continue
• Système de numération à bases de Cantor
• Développement en série de Engel