Développement en série de Engel

Modèle:Ébauche En mathématiques, le développement en série de Engel d'un nombre réel strictement positif $x$, moins connu que son développement en fraction continue mais étroitement lié, est son expression sous la forme :

$x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_1{a}_2{a}_3}+\cdots$

où les $a_n$ forment une suite croissante d'entiers naturels non nuls. Il y a existence et unicité de la suite $(a_n{)}_{n⩾1}$pour tout $x$ strictement positif.

Son appellation honore Friedrich Engel, qui l'a étudié en 1913 ; on l'utilise en théorie des nombres et en théorie des probabilités.

Un développement similaire est le développement en série de Pierce, dans lequel les termes sont de signes alternésModèle:,.

Écriture condensée

On utilisera dans cet article la notation $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_1{a}_2{a}_3}+\cdots =]a_1,a_2,a_3,\dots [$.

De plus, lorsque Modèle:Mvar appartient à $]n,n+1[$, on a toujours $a_1=a_2=\dots =a_n=1$. On écrira donc plus simplement un réel $x$ non entier de cet intervalle sous la forme $x=n+]a_{n+1},a_{n+2},..[$ où $n=\lfloor x\rfloor$ est la partie entière de $x$ ; on a alors $a_{n+1}⩾2$.

Par exemple, le [[Pi|nombre Modèle:Math]], situé entre Modèle:Math et Modèle:Math, s'écrit $\pi =]1,1,1,8,8,17,19,300,\dots [$$=3+]8,8,17,19,300,\dots [$.

Premiers exemples

• Un développement par une suite constante correspond à une série géométrique : $]a,a,a,\dots [=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a-1}$ (pour tout entier $a⩾2$).
• Celui du nombre Modèle:Math correspond au développement obtenu à partir de la série entière de l'exponentielle : $\mathrm{e}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$ ; donc $\mathrm{e}=2+]2,3,4,\dots [$.
• Plus généralement, $\sqrt[n]{\mathrm{e}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{k}k!}=1+]n,2n,3n,\dots [$.
• Le nombre $\sum _{p\text{ premier}}\frac{1}{p\mathrm{\#}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{2\times 3\times 5}+\dots =0,70523\dots$, somme des inverses des primorielles, est le nombre pour lequel la suite $(a_n{)}_{n⩾1}$ est la suite croissante de nombres premiers.

Expression des sommes partielles

La somme partielle $S_N=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\dots +\frac{1}{a_1{a}_2\dots a_N}$ peut s'écrire après factorisations sous les formes équivalentes suivantes :

$\frac{1}{a_1}(1+\frac{1}{a_2}(1+\dots +\frac{1}{a_{N-1}}(1+\frac{1}{a_N})\left)\right)=\frac{1+\frac{1+\cdots \frac{1+\frac{1}{a_N}}{\cdots }}{a_2}}{a_1}$, fraction continue ascendante,

à comparer avec le développement en fraction continue descendante classique : $a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\dots +\frac{1}{a_N}}}$ ;

cette expression montre que $S_N$ peut se calculer à partir de $a_1,\dots ,a_N$ avec $N$ divisions et $N$ additions (les additions consistant juste à ajouter Modèle:Math).

Le nombre $x=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_N$ s'écrit alors $\frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots }{a_3}}{a_2}}{a_1}$.

Construction du développement

La suite $(a_n)$ s'obtient par l'algorithme suivant, dû à Henry Briggs :

$\{\begin{array}{c}{a}_1=\lfloor \frac{1}{x}\rfloor +1\\ x_1=a_{1}x-1\end{array},\{\begin{array}{c}{a}_2=\lfloor \frac{1}{x_1}\rfloor +1\\ x_2=a_2{x}_1-1\end{array},\dots ,\{\begin{array}{c}{a}_n=\lfloor \frac{1}{x_{n-1}}\rfloor +1\\ x_n=a_n{x}_{n-1}-1\end{array},...$

De sorte que $x_n=]a_{n+1},a_{n+2},\dots [$.

On obtient par exemple :

$\sqrt{2}=1+]3,5,5,16,18,78,112,\dots [$, voir la Modèle:OEIS.

La liste des développements de Engel publiés dans l'OEIS se trouve ici.

Ceci permet de prouver l’irrationalité de nombres dont on connait un développement du type $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a_1\dots a_n}$ comme Modèle:Math, $\sqrt[n]{\mathrm{e}}$, $\cosh 1$, $\sinh 1$, ${\mathrm{e}}^{\sqrt{2}}$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}$, $\sum _{p\text{ premier}}\frac{1}{p\mathrm{\#}}$.

Variante différenciant les rationnels des irrationnels

• Le réel positif $x$ s'écrit aussi de manière unique sous la forme :

  $x=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_1{b}_2}+\frac{1}{b_1{b}_2{b}_3}+\cdots +\frac{1}{b_1{b}_2\cdots b_n}+\cdots$,

  où les $b_n$ forment une suite finie ou infinie croissante (au sens large) d'entiers strictement positifs, mais où l'on s'interdit une suite infinie constante à partir d'un certain rang.

• De plus, ces entiers s'obtiennent en utilisant cette fois la fonction partie entière supérieure $\lceil .\rceil$ :

  $\{\begin{array}{c}{b}_1=\lceil \frac{1}{x}\rceil \\ u_1=b_{1}x-1\end{array},\{\begin{array}{c}{b}_2=\lceil \frac{1}{u_1}\rceil \\ u_2=b_2{u}_1-1\end{array},\dots ,\{\begin{array}{c}{b}_n=\lceil \frac{1}{u_{n-1}}\rceil \\ u_n=b_n{u}_{n-1}-1\end{array}\dots$

  en convenant que si un $u_N$ est nul, la suite d'entiers s'arrête à $b_N$.

• Le réel $x$ est alors irrationnel si et seulement si la suite des $b_n$ est infinie, et dans ce cas (par unicité) les deux constructions coïncident.
• Lorsque $x$ est rationnel, la suite finie $(b_1,\dots ,b_N)$ et la suite infinie stationnaire $(a_1,a_2,a_3,...)$ coïncident jusqu'au rang $N-1$, et pour tout $n⩾N$, $a_n=b_N+1$.

Par exemple : $\frac{355}{113}=3+]8,8,17,19,113[=3+]8,8,17,19,114,114,\dots [$ (à comparer avec le développement de Modèle:Math ci-dessus).

Notons que cet algorithme fournit, pour tout rationnel strictement compris entre 0 et 1, un développement en somme de fractions égyptiennes de dénominateurs distincts. Cette écriture avait été vue par Fibonacci dans son Liber abaci (1202).

Formule de Stratemeyer

Cette formule donne le développement de Engel des nombres quadratiques de la forme : $a-\sqrt{a^2-1}$ où $a$ est un entier $⩾1$ ;

la suite $(a_n)$ étant définie par $a_1=a$ et $a_{n+1}=2a_n^2-1$, on a : $a-\sqrt{a^2-1}=]2a_1,2a_2,\dots [=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n{a}_1\dots a_n}$.

Par exemple, $2-\sqrt{3}=]4,14,194,37634,\dots [$, voir la Modèle:OEIS.

Voir aussi

Articles connexes

• Fraction continue
• Développement en série de Sylvester
• Développement en cotangente continue de Lehmer

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:Article