Suite de Sylvester

Représentation graphique de la convergence vers 1 de la somme 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 +... Chaque rang de n carrés de côté 1/n a une aire totale de 1/n ; l'ensemble des rangs recouvre exactement un carré plus grand, d'aire 1. (Les carrés de côté 1/1807 ou moins sont trop petits pour être dessinés sur le graphique.)

En théorie des nombres, la suite de Sylvester est une suite d'entiers telle que chaque terme est le produit de tous les termes précédents augmenté de 1, en partant d'un terme initial égal à 2. Les premiers termes de la suite sont :

2 ; 3 ; 7 ; 43 ; 1 807 ; 3 263 443 ; 10 650 056 950 807 ; Modèle:Unité (Voir la Modèle:OEIS).

En hommage à la démonstration par Euclide de l'infinitude des nombres premiers, les termes de cette suite sont aussi parfois appelés "nombres d'Euclide".

La suite de Sylvester doit son nom à James Joseph Sylvester qui, le premier, étudia ses propriétés dans les années 1880. Ses termes présentent une croissance exponentielle double. La série formée de la somme des inverses de cette suite converge vers 1, plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

La relation de récurrence qui définit les termes de la suite permet de factoriser ceux-ci plus facilement que toute autre série de croissance comparable, mais, du fait de la croissance rapide de la série, la décomposition en nombres premiers n'est connue que pour quelques termes. Des valeurs extraites de cette suite ont été utilisées pour construire des représentations de 1 sous forme de développement en fractions égyptiennes, et intervient dans l'étude des variétés d'Einstein Modèle:Lien.

Définitions

La suite de Sylvester est définie par récurrence forte :

$s_0=2,\mathrm{\forall }n⩾0,s_{n+1}=1+\prod _{k=0}^n{s}_k$

On vérifie alors que $s_{n+1}-1=\prod _{k=0}^n{s}_k=(s_n-1)s_n$, si bien qu'on peut également la définir par récurrence simple :

$s_0=2,\mathrm{\forall }n⩾0,s_{n+1}=s_n(s_n-1)+1[1]$

On en déduit aussi une définition par récurrence double :

$s_0=2,s_1=3,\mathrm{\forall }n⩾0s_{n+2}=s_{n+1}^2-s_n(s_n-1)$

On obtient une suite strictement croissante d'entiers, donc de limite infinie.

Série des inverses et lien avec les fractions égyptiennes

Comme $\frac{s_{n+1}}{s_n}=s_n-1+\frac{1}{s_n}\sim s_n⟶+\mathrm{\infty }$, la série de terme général $1/s_n$ est convergente d'après le critère de D'Alembert.

Un résultat remarquable est que la somme de cette série est égale à 1.

En effet, il résulte de la relation de récurrence [1] que :

$\frac{1}{s_n-1}-\frac{1}{s_{n+1}-1}=\frac{1}{s_n}$;

La somme des termes de $1/s_0$ à $1/s_N$ se réduit alors, par téléscopage, à :

$\sum _{n=0}^N\frac{1}{s_n}=\sum _{n=0}^N(\frac{1}{s_n-1}-\frac{1}{s_{n+1}-1})=\frac{1}{s_0-1}-\frac{1}{s_{N+1}-1}=1-\frac{1}{s_{N+1}-1}[2].$

Puisque la suite $(s_n)$ tend vers l'infini, $\sum _{n=0}^N\frac{1}{s_n}$ tend bien vers 1.

On peut donc écrire :

$1=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{s_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{1807}+\cdots$

ce qui donne une représentation de 1 sous forme de somme infinie de fractions égyptiennes.

La même formule écrite sous la forme $\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{1807}+\cdots$ fournit un développement de Modèle:Sfrac en somme infinie de fractions égyptiennes de dénominateurs impairs.

De plus, la formule [2] écrite sous la forme : $1=\sum _{n=0}^N\frac{1}{s_n}+\frac{1}{s_{N+1}-1}$ donne une représentation de 1 sous forme de somme de fractions égyptiennes de longueur quelconque (tronquer la somme infinie après un nombre arbitraire de termes et soustraire 1 du dénominateur de la dernière fraction) ; par exemple :

$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6},1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42},1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{1806},\dots$

La somme des $k$ premiers termes de la suite $\left(\frac{1}{s_n}\right)$constitue la meilleure approximation possible par défaut de 1 à l'aide de $k$ fractions égyptiennes . Par exemple, la somme des quatre premiers termes de la série vaut 1805/1806 et par conséquent, pour représenter tout nombre dans l'intervalle ouvert ]1805/1806 , 1[, une somme de fractions égyptiennes doit avoir au moins cinq termes. Pour cette raison, toute série d'inverses d'entiers convergeant vers 1 converge moins vite que la série des inverses de la suite de Sylvester.

On peut interpréter la suite de Sylvester comme le résultat de l'algorithme glouton pour la décomposition du nombre 1 en somme de fractions égyptiennes, algorithme qui, à chaque étape, choisit la plus grande fraction égyptienne dont la somme avec les précédentes est strictement inférieure à 1.

Plus précisément si on pose $s_0=2,s_n=\min \{m\in \mathbb{N}/\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{s_k}+\frac{1}{m}<1\}$, on obtient de nouveau la suite de Sylvester.

Étude asymptotique

Comme $s_{n+1}\sim s_n^2$, la suite de Sylvester présente une croissance doublement exponentielle.

La suite

$\left(s_n^{1/2^{n+1}}\right)$

tend en décroissant vers un nombre Modèle:Math appelé constante de Vardi (Modèle:OEIS) et on montre que non seulement

$s_n\sim E^{2^{n+1}}$

mais qu'on peut calculer exactement les termes de la suite de Sylvester par la formule :

$s_n=\lfloor E^{2^{n+1}}\rceil$

où

$\lfloor x\rceil$

désigne l'entier le plus proche de

$x$

.

La croissance doublement exponentielle de la suite de Sylvester est comparable à celle de la suite des nombres de Fermat $F_n$. Ceux-ci sont habituellement définis par l'expression en double exponentielle : $2^{2^n}+1$, mais ils sont aussi définis par une récurrence très voisine de celle définissant la suite de Sylvester :

$F_{n+1}=2+\prod _{k=0}^n{F}_k$, alors que $s_{n+1}=1+\prod _{k=0}^n{s}_k$.

Divisibilité et factorisations

Si $i<j$, il résulte de la définition que $s_j\equiv 1mod{s}_i$. Par conséquent, deux termes quelconques de la suite de Sylvester sont premiers entre eux. La suite peut donc servir de preuve à l'assertion "il existe une infinité de nombres premiers", puisqu'un nombre premier donné ne peut diviser qu'un terme de la suite au plus.

Plusieurs travaux ont été consacrés à la factorisation des termes de la suite de Sylvester en nombres premiers, mais il demeure beaucoup d'incertitudes à ce sujet. Par exemple, on ne sait pas si tous les termes de la suite sont sans facteurs carrés, bien que tous les termes connus le soient.

Comme Modèle:Harvsp l'indique, il est facile de déterminer de quel terme de la suite de Sylvester (s'il existe) un nombre premier $p$ donné est diviseur : il suffit de calculer les termes de la suite modulo $p$ à l'aide de la définition par récurrence (en répétant "remplacer $x$ par $x^2-x+1modp$") jusqu'à trouver un terme nul. Et si l'on obtient un terme non nul qui avait déjà été trouvé, on est assuré que $p$ ne divise aucun terme de la suite. À l'aide de cette technique, il a obtenu qu'exactement 1166 des trois premiers millions de nombres premiers sont des diviseurs des nombres de Sylvester et qu'aucun d'entre eux n'était élevé au carré.

Un résultat de Modèle:Harvsp conclut que la densité dans l'ensemble des nombres premiers des diviseurs premiers des termes de la suite de Sylvester est nulle.

D'autre part Odoni a montré que tous les diviseurs premiers des termes de la suite de Sylvester (excepté 2 et 3) sont de la forme 6k+1.

La table ci-après présente la factorisation des termes de la suite de Sylvester (à l'exception des quatre premiers termes qui sont tous des nombres premiers) :

(la notation Pn représente un nombre de $n$ chiffres dont on sait qu'il est premier, et Cn un nombre de $n$ chiffres dont on sait qu'il est composé, mais dont la décomposition est inconnue)

n	Facteurs de sn
4	13 × 139
5	3263443, premier
6	547 × 607 × 1033 × 31051
7	29881 × 67003 × Modèle:Unité × Modèle:Unité
8	Modèle:Unité × Modèle:Unité × Modèle:Unité
9	181 × 1987 × Modèle:Unité × Modèle:Unité × P68
10	2287 × Modèle:Unité × Modèle:Unité × P156
11	73 × C416
12	Modèle:Unité × Modèle:Unité × C785
13	52387 × Modèle:Unité × Modèle:Unité × Modèle:Unité × Modèle:Unité × C1600
14	13999 × 74203 × Modèle:Unité × Modèle:Unité × Modèle:Unité × C3293
15	17881 × Modèle:Unité × Modèle:Unité × C6618
16	128551 × C13335
17	635263 × Modèle:Unité × Modèle:Unité × C26661
18	Modèle:Unité × Modèle:Unité × Modèle:Unité × C53313
19	C106721
20	352867 × Modèle:Unité × C213419
21	387 347 773 × 1 620 516 511 × C426863
22	91 798 039 513 × C853750

La liste croissante des nombres premiers qui divisent un terme de la suite de Sylvester est répertoriée A007996 dans l'OEIS.

Généralisation : développement en série de Sylvester d'un réel quelconque

On peut généraliser l'algorithme glouton de décomposition en somme infinie de fractions égyptiennes à un réel strictement positif $x$ autre que 1 : cet algorithme choisit, à chaque étape, la plus grande fraction égyptienne dont la somme avec les précédentes est strictement inférieure à $x$.

On pose donc $s_n=\min \{m\in \mathbb{N}/\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{s_k}+\frac{1}{m}<x\}$, ou, de façon plus pratique :

$x_{-1}=x$ puis pour tout entier naturel $n$ : $\{\begin{array}{c}{s}_n=\lfloor \frac{1}{x_{n-1}}\rfloor +1\\ x_n=x_{n-1}-\frac{1}{s_n}\end{array}$.

Le développement en série de Sylvester de $x$ s'écrit alors :

$x=\frac{1}{s_0}+\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\cdots$ que l'on notera $]s_0,s_1,...[$.

La suite d'entiers naturels non nuls $(s_n{)}_{n⩾0}$ est alors définie de façon unique par le fait que $s_{n+1}⩾s_n(s_n-1)+1$ pour tout $n$ et le réel $x$ est rationnel si et seulement si $s_{n+1}=s_n(s_n-1)+1$ à partir d'un certain rang.

Le développement du nombre 1 correspond bien sûr à la suite de Sylvester vue ci-dessus : $1=]2,3,7,43,1807,...[$.

Exemples irrationnels :

• $\sqrt{2}=1+]3,13,253,218201,...[$, voir la Modèle:OEIS ;
• $e=2+]2,5,55,9999,3620211523,...[$, voir la Modèle:OEIS ;
• $\pi =3+]8,61,5020,128541455,...[$, voir la Modèle:OEIS.

Si au lieu de prendre la plus grande fraction égyptienne dont la somme avec les précédentes est strictement inférieure à $x$, on prend celle qui est inférieure ou égale à $x$, l'algorithme est identique si $x$ est irrationnel, mais il s'arrête si $x$ est rationnel et on obtient le développement égyptien glouton fini de $x$.

Par exemple, $\frac{3}{16}=\frac{1}{6}+\frac{1}{48}=]6,49,2353=49\times 48+1,5534257=2353\times 2352+1,...[$.

Le développement en série de Sylvester a des liens avec celui de Engel.

Unicité des séries à croissance rapide ayant une limite rationnelle

Sylvester observa lui-même que la suite qui porte maintenant son nom semblait posséder la propriété unique d'avoir une croissance extrêmement rapide, tandis que la série somme de ses inverses convergeait vers un rationnel.

Plus précisément, il résulte des travaux de Modèle:Harvsp que, si une suite d'entiers $(a_n)$ croît suffisamment pour qu'à partir d'un certain rang $n$ :

$a_{n+1}⩾a_n(a_n-1)+1$

et si la série : $\sum \frac{1}{a_n}$ converge vers un rationnel $A$, alors, pour tout $n$ au-delà d'une certaine valeur, la suite peut être définie par la même relation de récurrence que la suite de Sylvester :

$a_{n+1}=a_n(a_n-1)+1$

En 1980, Modèle:Harvsp conjectura que pour les résultats de ce type, l'inégalité conditionnant la croissance de la suite pouvait être remplacée par la condition plus faible :

$a_{n+1}\sim a_n^2$.

Applications

Modèle:Harvsp utilisent les propriétés de la suite de Sylvester pour spécifier le grand nombre de variétés d'Einstein Modèle:Lien possédant la topologie différentielle de sphères de dimension impaire ou d'autres sphères exotiques. Ils démontrent que le nombre de métriques riemanniennes des variétés d'Einstein sasakiennes sur une sphère topologique de dimension $2n-1$ est au moins proportionnelle à $s_n$ et croît donc selon une double exponentielle de $n$.

Selon Modèle:Harvsp, Modèle:Harvsp et Modèle:Harvsp ont utilisé la suite de Sylvester pour construire un algorithme séquentiel minimisant le problème de bin packing. Modèle:Harvsp ont aussi utilisé cette suite pour élaborer un algorithme minimisant le problème de bin packing à deux dimensions.

Le problème de Znám consiste à trouver un ensemble de nombres tel que chacun divise le produit de tous les autres plus 1, sans être égal à cette valeur. Si ce n'était cette dernière condition, les ensembles formés des premiers termes de la suite de Sylvester seraient des solutions à ce problème. Avec cette condition, les solutions constituent une suite dont la définition est similaire à celle de la suite de Sylvester. Les solutions du problème de Znám ont des applications dans la classification des singularités des surfaces Modèle:Harvsp et dans la théorie des automates finis non déterministes Modèle:Harv.

Modèle:Harvsp présente une approximation de 1 par la somme de $k$ fractions unitaires comme approximation inférieure du nombre de diviseurs de tout nombre parfait et Modèle:Harvsp utilise la même propriété pour minimiser la taille de certains groupes.

Voir aussi

Articles connexes

• Constante de Cahen
• Développement en série de Engel
• Nombre pseudoparfait primaire

Liens externes

• Modèle:En Irrationality of Quadratic Sums, MathPages de K. S. Brown.
• Modèle:MathWorld